§ 5. Порядок нуля линейной формы при z = 0

Лемма 8. Пусть совокупность функций

аналитических в некоторой области, содержащей точку составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (31) и линейно независима

а

Далее,

есть любая линейная форма из » ранг совокупности линейных форм (39), полученных из формы с помощью (35), равен

Тогда существует постоянная зависящая только от совокупности функций (47), такая, что при выполняется неравенство

же то в неравенстве (51) можно заменить на где

Доказательство. Ранг совокупности форм (39) равен где Так как то

Рассмотрим линейные формы

и прямоугольную матрицу из коэффициентов этих форм

По лемме 6 формы (53) линейно независимы, а тогда ранг матрицы (54) равен I и она содержит хотя бы один отличный от нуля минор порядка Не нарушая общности доказательства, можно считать, что это будет определитель

так как нумерация функций (47) в нашем распоряжении.

Если то тогда каждый из столбцов матрицы (54) с номером будет линейной комбинацией первых столбцов, и поэтому

Пользуясь равенствами (56), из равенств (53) имеем, что

Следовательно, линейные формы (53) можно представить в виде

где

Если же то в соответствии с равенствами (58) считаем

При из равенств (56) ввиду условия (55) следует, что рациональные функции для фиксированной линейной формы определены однозначно. Установим формулы, выражающие эти функции через решения системы (31).

Так как удовлетворяет неравенствам то по лемме 7 можно выбрать фундаментальную систему решений

системы (31) так, что имеют место равенства (46). Поэтому если обозначить

то, ввиду равенств (46), (57), (58) и (60), будут выполняться соотношения

Рассмотрим при каждом фиксированном значении систему из I линейных однородных уравнений (61) относительно I величин Условие (55) позволяет утверждать, что эта система имеет лишь тривиальное решение. Это согласно равенствам (60) означает, что

При каждом фиксированном значении равенства (62) составляют систему из линейных однородных уравнений относительно функций При любом эта система будет иметь единственное решение, если ее определитель

не равен тождественно нулю по

Предположим противное, т. е. что и рассмотрим определитель о матрицы (59).

Зафиксируем какое-либо значение и сложим строку о с номером со строками с номерами умножив предварительно каждую строку с номером соответственно, на Ввиду равенств (62) после этого в строке о первые элементов будут нулями. Проделав это при всех значениях получим, что в а в левом верхнем углу будет расположен прямоугольный ящик из I строк и столбцов, все элементы которого равны нулю.

Итак, первые столбцов определителя о состоят из указанного ящика, целиком заполненного нулями, а под ним расположен квадратный ящик из строк и столбцов, определитель из элементов которого Поэтому по теореме Лапласа определитель а матрицы (59) тождественно равен нулю по Но это для определителя матрицы фундаментальной системы решений системы линейных однородных дифференциальных уравнений невозможно.

Полученное противоречие доказывает, что определитель и, следовательно, все функции определяются единственным образом из уравнений (62).

Рассмотрим прямоугольную матрицу

и обозначим определитель, который получается из определителя (63), если в нем заменить строку на строку матрицы Тогда из уравнений (62) находим, что

Равенства (65) определяют функции через элементы матрицы (59), а эта матрица зависит от выбора формы Поэтому преобразуем правые части равенств (65) так, чтобы в них входили только функции какой-либо фиксированной фундаментальной системы решений системы (31). Пусть

— матрица такой произвольной фиксированной фундаментальной системы решений.

Из прямоугольной матрицы

можно составить

миноров порядка Перенумеруем их любым способом и обозначим

Если в матрице (67) заменить строку на строку матрицы то из полученной таким образом матрицы можно составить миноров порядка Занумеруем их произвольно и обозначим

Матрица (59) отличается от фиксированной матрицы (66) матричным множителем

где квадратная матрица (70) такова, что ее определитель отличен от нуля. Поэтому

Рассмотрим снова равенства (65). Пользуясь равенством (71), для знаменателя правой части равенств (65) находим выражение

Определитель в правой части равенства (72) равен определителю произведения двух прямоугольных матриц:

По известной формуле Бине — Коши этот определитель равен сумме произведений всевозможных миноров максимального порядка матрицы (73) на соответствующие миноры того же порядка матрицы (74). Поэтому, пользуясь обозначениями (68), будем иметь, что

где постоянные однородные формы измерения от элементов матрицы (74).

Аналогично, используя обозначения (69), получим

где постоянные также однородные формы измерения от элементов матрицы (74).

Тогда равенства (65) можно переписать следующим образом:

Применяя к каждому из равенств (75) лемму 5, получим, что степени всех рациональных функций не превосходят некоторого числа зависящего только от функций (68) и (69), являющихся некоторыми минорами фиксированной матрицы (66) фундаментальной системы решений системы (31).

Рассматривая всевозможные линейные формы удовлетворяющие условиям (50) при любых значениях вообще говоря, можно получать различные совокупности рациональных функций

определяемые из уравнений (62) равенствами (75) при различных значениях способах нумерации функций (47) и совокупностях функций (68) и (69). При этом количество различных совокупностей функций (68) и (69) и соответствующих им равенств вида (75) будет конечным. Следовательно, по доказанному существует число такое, что для любой линейной формы и любой нумерации функций (47) степени всех рациональных функций в равенствах (56) не превосходят Число зависит только от системы дифференциальных уравнений (31). Но ввиду линейной независимости функций (47) над по лемме 3 система (31) определена этими функциями однозначно. Значит, зависит только от совокупности функций (47).

Подставим в линейные формы (53) вместо функции (47). Тогда равенства (58) примут вид

Обозначим многочлен, являющийся общим наименьшим знаменателем всех рациональных функций в равенствах (76), а в случае, когда положим Выражения

будут линейными формами от функций (47) с коэффициентами из

Так как функции (47) линейно независимы над то из равенств (76) следует, что ни одна из функций (77) не равна тождественно нулю по Обозначим При имеем равенство

По доказанному степени многочленов-коэффициентов всех линейных форм (77) ограничены числом Поэтому применяя к каждой из этих форм лемму 4, получим, что существует число зависящее только от функций (47), такое, что при любом для каждой рассматриваемой линейной формы число соответствующее функциям (77), удовлетворяет неравенству При имеем равенство

Рассмотрим определитель совокупности линейных форм (57). Обозначим — алгебраическое дополнение элемента

Аналогично тому, как были получены равенства (42), для системы линейных форм (57) находим, что

Умножим обе части этих равенств, соответственно, на Пользуясь обозначениями (77), получим

Выберем значение так, чтобы и рассмотрим соответствующее из равенств (78).

Из равенств (37) следует, что Поэтому Поскольку то выполняется неравенство

Пусть Тогда из равенств (38) имеем, что Следовательно,

Из равенства (79) и неравенств (80) и (81) следует неравенство (51), если положить

Так как при выполняется равенство то в этом случае в неравенстве (51) можно заменить на Лемма доказана.