§ 2. Однородный идеал J

Доказательство теоремы 7 состоит из нескольких этапов. В основе первого из них лежит нижеследующая лемма 1. Для ее доказательства напомним некоторые понятия из теории полиномиальных идеалов.

Идеал кольца называется однородным если он имеет базис, состоящий из однородных многочленов. Если многочлен входит в однородный идеал то каждая сумма всех однородных членов одинаковой степени многочлена также входит в

Идеал 3 кольца называется простым, если для любых многочленов с условием из того, что следует, что . Говорят, что размерность простого идеала равняется если наибольшее число, для которого существуют различные индексы с условием Размерность идеала обозначают Если один из двух простых идеалов содержится в другом и они имеют равные размерности, то эти идеалы совпадают.

Лемма 1. Если у системы дифференциальных уравнений (9) есть решение с алгебраически зависимыми над компонентами, то она имеет или нетривиальное решение, все компоненты которого алгебраичньг над или такое нетривиальное решение что совокупность всех многочленов кольца обращающихся в нуль при подстановке в них вместо функций образует однородный простой идеал.

Доказательство. Пусть — ненулевое решение системы (9) с наименьшим количеством алгебраически независимых над функций. Множество, состоящее из всех многочленов кольца обращающихся в нуль при подстановке в них вместо функций очевидно, образует простой идеал

Обозначим

дифференциальный оператор, связанный с системой дифференциальных уравнений (9) и действующий в кольце Тогда с Определим однородный идеал так же, как и при доказательстве теоремы 2 в § 7 гл. 9. Там же доказано, что и если идеал имеет только тривиальный нуль (, то функции алгебраичны над Поскольку в этом случае утверждение леммы выполняется, то будем далее считать, что идеал имеет

нетривиальный нуль. По лемме 3 гл. 9 у системы (9) есть решение являющееся нулем идеала

Пусть простой идеал, состоящий из всех многочленов кольца обращающихся в нуль при подстановке в них вместо функций Обозначим также максимальный содержащий и содержащийся в однородный идеал. Тогда

Докажем, что цдеал является простым. Допустим противное. Тогда существуют многочлены такие, что Пусть сумма однородных членов многочленов степеней, соответственно наименьшие числа, такие, что

Так как есть однородный идеал, то

Из этого включения ввиду минимальности получаем В то же время, поскольку максимальный однородный идеал, содержащийся в , из находим, что это невозможно, так как простой идеал. Полученное противоречие доказывает, что идеал является простым.

Из предположения, сделанного в начале доказательства относительно функций следует, что

С другой стороны, если для некоторых индексов выполняется равенствог то значит, Отсюда следует, что Таким образом,

а из последнего равенства, поскольку и простые идеалы, следует, что т. е. что идеал однороден. Лемма доказана.

Если система (9) имеет нетривиальное решение, все компоненты которого алгебраичны над то первое утверждение теоремы 7, очевидно, выполняется.

В противном случае по лемме 1 система (9) имеет решение такое, что идеал всех алгебраических уравнений над между его компонентами однороден. Не уменьшая общности, далее будем считать, что это решение есть однородный простой идеал, состоящий из всех многочленов из обращающихся в нуль при подстановке в них вместо функций

Обозначим и

— факторкольцо кольца по идеалу Если образы переменных в , то и среди имеется к и не более алгебраически независимых над