§ 4. Свойства линейных форм от функций, удовлетворяющих системе линейных однородных дифференциальных уравнений

Пусть обозначает модуль линейных форм от переменных у и над кольцом Элементы имеют вид

Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка

Многочлен для системы (31) будет иметь тот же смысл, что и в § 2, т. е. что все

Определим на И дифференциальный оператор

связанный с системой дифференциальных уравнений (31). Если то очевидно, что и Следовательно, -Пусть произвольное решение системы дифференциальных уравнений (31). Подставим это решение в форму (30) вместо произвольных переменных. После этого будет функцией от ее производная по z является линейной формой от с коэффициентами из Заменяя в выражении производные на правые части

соответствующих дифференциальных уравнений (31), получим, что будет линейной формой от с коэффициентами из Следовательно, применение оператора к форме в рассматриваемом случае представляет собой вычисление полной производной по z с последующей заменой появляющихся при этом производных у и на правые части дифференциальных уравнений (31). Итак, если есть решение системы (31), то

При сделанном предположении относительно условимся в дальнейшем обозначать результат дифференцирования формы как функции от z, с последующей заменой на правые части уравнений (31).

Рассмотрим произвольную линейную форму из

и положим

Пользуясь приведенным выше рассуждением, убеждаемся в том, что а тогда

С помощью равенств (32) и (35) легко находим, что многочлены при определяются рекуррентно по формулам

Если в линейную форму (34) подставить вместо переменных произвольное решение системы дифференциальных уравнений (31), то в соответствии с равенствами (33) равенства (35) примут вид

Рангом множества линейных форм с коэффициентами из кольца или поля V называют максимальное число линейно независимых над У форм в этом множестве.

Лемма 6. Если есть произвольная линейная форма (34), то ранг совокупности линейных форм равен тогда и только тогда, когда формы линейно независимы, но вместе с формой линейно зависимы

Доказательство. Пусть формы линейно независимы, но формы линейно зависимы над Тогда последние связаны линейным однородным уравнением с коэффициентами из содержащим Применяя к обеим частям этого уравнения к — 1 раз, оператор получим ряд линейных однородных уравнений для которых составим линейное однородное уравнение с коэффициентами из для содержащее Так как это имеет место при любом то ранг совокупности линейных форм равен

Обратно, если ранг форм равен то формы линейно независимы, так как по доказанному выше в противном случае ранг форм был бы меньше чем Рассмотрим первые из линейных форм (36)

Обозначим определитель совокупности линейных форм (39)

алгебраические дополнения элементов в этом определителе.

Фиксируя индекс умножим обе части каждого из равенств (39) соответственно на Складывая полученные после этого равенства, будем иметь

Если обозначить определитель, получающийся из определителя А заменой его столбца на столбец, то

Поэтому из равенства (41) получим

тождественно по

Определитель А отличен от нуля тогда и только тогда, когда формы линейно независимы, т. е. имеют ранг

Если линейная форма обращается в нуль при подстановке в нее некоторого нетривиального решения системы дифференциальных уравнений (31), то из равенства (38) следует, что при этом решении обращаются в нуль все формы Тогда из равенств (42) имеем, что так как есть

нетривиальное решение и поэтому хотя бы при одном значении будет Это означает, что формы линейно зависимы над Нетрудно убедиться, что имеет место обратное утверждение. В частности, это следует из более общего нижеследующего предложения.

Лемма 7. Пусть любая линейная форма вида (34), а ранг системы линейных форм равен где

Тогда можно выбрать линейно независимых решений системы дифференциальных уравнений (31)

так, что формы обращаются в нуль при подстановке в них вместо переменных каждого из решений (43).

Доказательство. Ранг системы линейных форм (39) равен Тогда по лемме 6 линейные формы линейно независимы, а формы линейно зависимы. Поэтому можно найти такие, что тождественно по переменным выполняется равенство

Подставляя в форму произвольное решение системы (31) и пользуясь равенством (38), тождество (44) можно переписать следующим образом:

Так как равенства (44) и (45) тождественны по переменным то линейная форма удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению (45) порядка где при любом решении системы (31).

Пусть V — векторное пространство над С решений системы линейных дифференциальных уравнений (31), векторное пространство над С решений дифференциального уравнения (45). Для их размерностей выполняются равенства Выше показано, что с помощью линейной формы устанавливается отображение являющееся гомоморфизмом векторных пространств над С.

Пусть Кегф — ядро гомоморфизма (прообраз нуля при отображении образ отображения Тогда по известной теореме линейной алгебры

Так как то из последнего равенства имеем, что Выберем любые линейно независимых решений системы (31) из подпространства решений Кегф. Обозначая их получим

Лемма доказана.

Можно доказать, что Следовательно, наибольшее число линейно независимых решений системы (31), при подстановке которых в линейную форму эта форма обращается в нуль.