Глава 1. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ И АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

§ 1. Приближение действительных чисел рациональными числами

В книге всюду будут использоваться следующие обозначения: множество натуральных чисел, кольцо целых рациональных чисел, множество неотрицательных целых рациональных чисел, — поля, соответственно, рациональных, действительных и комплексных чисел, а -мерное действительное пространство.

Пусть Рассмотрим модуль разности

при различных Так как множество рациональных чисел всюду плотно во множестве действительных чисел, то величина (1) при соответствующем выборе чисел может быть сделана сколь угодно малой. Отсюда следует, что целесообразно рассматривать относительную малость этой величины, выясняя сколь малой она может быть сделана, если знаменатель приближающей дроби не превосходит некоторого числа.

Пусть функция при всех Рассмотрим неравенство

При заданном а интересно выяснить, для каких функций это неравенство имеет бесконечное множество решений и для каких функций оно не имеет таких решений, начиная с некоторого

Говорят, что действительное число а допускает приближение рациональными числами порядка если существует постоянная зависящая только от а и функции такая,

что неравенство

имеет бесконечное множество решений

Чаще всего в этой задаче рассматривают степенную функцию

Выясняют, каково множество решений неравенства

при различных положительных значениях

Пусть а — рациональное число, При любом существует такое, что

Тогда

Давая различные значения, получим, что существует бесконечное множество дробей удовлетворяющих неравенству (2). Следовательно, а допускает приближение рациональными числами порядка

С другой стороны, для любой дроби

Из неравенства (3) следует, что при любой постоянной неравенство

не имеет решений в числах

Отсюда получаем следующий признак иррациональности. Теорема 1. Если при всех неравенство

имеет бесконечное множество решений а

то а есть иррациональное число.

Порядок приближения числами из для различных действительных чисел различен. Ниже будет показано, что все

действительные иррациональные числа допускают приближение числами порядка а также что среди них содержатся числа, допускающие «сколь угодно хороший» порядок приближения.

Теорема Дирихле. Если то существуют числа такие, что

Доказательство. Пусть обозначают, соответственно, дробную и целую части числа а. Обозначим и рассмотрим чисел:

Все точки (5) принадлежат отрезку Разделим этот отрезок на частей длины

Каждая из точек (5) содержится в одном из отрезков (6). Поскольку точек (5) больше, чем отрезков (6), то среди последних найдется отрезок, содержащий две из точек (5). Рассмотрим такой отрезок. Возможны два случая.

1. Рассматриваемый отрезок не является крайним правым. Он содержит точки Имеем

Положим Очевидно, что Тогда выполняются неравенства

из которых следуют неравенства (4).

2. Рассматриваемый отрезок (6) является крайним правым. Он содержит точки Поэтому, аналогично,

Положим Будем иметь, что Тогда снова получаем неравенства (7), а вместе с ними и неравенства (4).

Заметим, что если в условиях теоремы считать то ее доказательство немного упрощается. В нем надо заменить на , число 1 на число и рассмотреть только первый случай.

Метод, которым была доказана теорема Дирихле, называют принципом Дирихле. Он основан на простой идее: если

предметов распределить по ящикам, то при хотя бы в один из ящиков попадут не менее двух предметов.

Пусть В этом случае было показано, что выполняется неравенство (3) при любой дроби Значит, при неравенства (4) имеют лишь тривиальное решение При по теореме Дирихле неравенства (4) имеют решение со знаменателем Поэтому знаменатели всех нетривиальных решений неравенств (4), соответствующих всевозможным значениям , ограничены и эти неравенства имеют только конечное число решений Следовательно, теорема Дирихле при дает некоторую информацию о приближении его числами из с меньшими знаменателями.

Если а иррационально, то для любого решения неравенств Имеется бесконечное множество решений неравенств (4), соответствующих различным Действительно, в противном случае для всех решений неравенств (4) выполнялось бы неравенство при некотором Но при дробь и поэтому неравенства (4) при достаточно большом были бы противоречивы.

Теорема 2. Для любого иррационального числа неравенство

имеет бесконечное множество решений следовательно, знаменатели всех решений неравенства (8) неограничены

Доказательство. По теореме Дирихле для любого решения неравенств (4) имеем

Но по доказанному выше в рассматриваемом случае неравенства (4) имеют бесконечное множество решений соответствующих различным Следовательно, и неравенство (8) имеет бесконечное множество решений

Из этой теоремы следует, что любое иррациональное число из 0? допускает степенной порядок приближения

Из теоремы 1 получаем, что иррациональное число представляется в форме

где не любое число из но может быть выбрано сколь угодно большим, т. е. существует бесконечная последовательность пар такая, что в равенстве (9) можно положить

Представление действительных иррациональных чисел в виде (9) часто используется в теории чисел, других разделах математики и ее приложениях.

Легко строятся примеры, показывающие, что существуют действительные иррациональные числа, допускающие любой степенной порядок приближения рациональными числами. Рассмотрим число

Обозначим

Тогда

и

Отсюда

Из последних неравенств имеем, что при любом неравенство

имеет решение Но каждое решение неравенства (11) с заданным значением есть решение того же неравенства с любым меньшим значением Отсюда следует, что неравенство (11) при любом имеет бесконечное множество решений

При ряд (11) представляет собой десятичное разложение числа

у которого цифры на местах с номерами вправо от запятой равны 1, а все остальные цифры равны нулю.

Совсем просто построить пример такого же типа с помощью цепных дробей.

Нетрудно доказать более сильное утверждение, что существуют действительные иррациональные числа, допускающие любой заданный порядок приближения рациональными числами.

Теорема 3. Какова бы ни была функция натурального аргумента существует иррациональное число для которого неравенство

имеет бесконечное множество решений

Доказательство. Определим последовательность так» чтобы последовательность натуральных чисел

удовлетворяла условию Положим

и обозначим

Так как ряд (12) является знакочередующимся с убывающими членами, то выполняются неравенства

Поскольку то из неравенств (13) получаем, что

Поэтому по теореме 1 число а иррационально, а тогда из неравенств (13) следует утверждение теоремы.

Действительных чисел, допускающих очень хороший порядок приближения рациональными числами, относительно мало. Почти все действительные числа (в смысле меры Лебега) приближаются рациональными числами не очень хорошо. Это следует из

теоремы А. Я. Хинчина, доказанной им в 1924 г. [26:1]. Приведем ее формулировку.

Теорема Хинчина. Пусть положительная непрерывная функция при где такая, что не возрастает. Тогда неравенство

имеет для почти всех а бесконечное множество решений если интеграл

расходится, и имеет для почти всех а не более конечного числа решений если этот интеграл сходится.

Из этой теоремы, в частности, следует, что неравенство

имеет для почти всех а бесконечное множество решений, а неравенство

имеет для почти всех а при любом не более конечного числа решений.

Последние неравенства позволяют оценить истинный порядок приближения почти всех действительных чисел числами из

Заметим, что среди действительных иррациональных чисел хуже всех приближаются рациональными дробями те, которые при разложении в цепную дробь имеют ограниченные элементы. Для них наилучший порядок приближения равен Множество таких чисел имеет мощность континуума, но меру Лебега равную нулю. (См. А. Я. Хинхин [26: 2]).

Теорему Дирихле можно доказать и другими методами. Например, с помощью цепных дробей или рядов Фарея. Но наиболее простым методом ее доказательства является принцип Дирихле. Принцип Дирихле применяется во многих задачах теории диофантовых приближений, к решению которых цепные дроби и ряды Фарея применить нельзя. Например, при доказательствах теорем, связанных с совместным приближением нескольких чисел, а также во многих методах теории трансцендентных чисел. Некоторые из таких задач будут рассмотрены в следующем параграфе.