§ 3. Следствия из теорем 1 и 2

Пусть теперь Обозначим

Тогда из теоремы 2 следует

Теорема 3. Если то при любом числа алгебраически независимы.

Заметим, что функция рассматривалась в § 2 гл. 5 и теорема 3 при следует из теоремы 3 гл. 5.

Из равенств (42) имеем

Поэтому теорема 3 эквивалентна следующему утверждению. Теорема 4. Если то при любом числа алгебраически независимы.

Пусть

функция, рассмотренная в § 2 гл. 5. Тогда

Из равенств (44) и (45) имеем

а заменяя Я на получим

Дифференцируя равенство (46) по будем иметь

При функция (47) имеет вид

Пользуясь теоремой 3 с заменой числа на теоремой 4 и равенствами (43) и (47), получаем следующую теорему.

Теорема 5 (К. Малер). Если то при любом числа алгебраически независимы.

Совокупность функций (45) и (47) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

Поэтому методом, которым была доказана теорема 2, можно установить следующий результат.

Теорема 6 (К. Малер). Если то при любом числа алгебраически независимы.

Доказательство теоремы 6 не приводится. В книге К. Малера содержится доказательство этой теоремы, основанное на другой идее.

Покажем, что утверждение теоремы 6 при следует из теоремы 1.

Теорема 7. Если то при любом числа алгебраически независимы.

Доказательство. Легко проверить, что

где функции определены равенством (1). Пользуясь равенствами (46), (47), (43) и (48), находим

Из равенств (49) по теореме 1 с заменой на получаем утверждение теоремы.

Заметим, что

Так как

то, дифференцируя по параметру, находим

Поэтому из теоремы 4 получаем нижеследующий результат.

Теорема 8. Если то при любом числа 1

алгебраически независимы.

Утверждение теоремы 8 только для интегралов (без числа было доказано К. Малером в 1968 г. [56 : 5,7].

Замечания

Лемма 1 принадлежит К. Малеру [56:5]. Теорема 1 при доказана в 1954 г. [28 : 1, 9]. Теоремы 1 и 2 содержатся в более общей теореме о значениях функций и функций 00

с различными значениями параметров и различными значениями аргумента, удовлетворяющими некоторым естественным ограничениям. Она доказана в 1959 г. [28 : 10]. Теоремы 1 и 3 установлены другим методом в 1961 г. [28 : 13]. Соответствующие доказательства приводятся в гл. 8. Первый результат об арифметических свойствах значений функций содержится в

В работе доказываются также общие теоремы о значениях функций

и функций

Не столь общие теоремы подобного типа были установлены в 1954 г. [28: 1,9].

Арифметические свойства значений производных по параметру гипергеометрических Е-функций впервые начал исследовать в 1967 г. И. И. Белогривов Он доказал теоремы об алгебраической независимости значений в различных алгебраических точках функций и производных по z двух последних функций. Основные из этих

результатов содержатся в теореме 5 работы [28: 1, 9] и теореме 2 работы [28: 10]. В той же работе [1: 1] И. И. Белогривов доказал теоремы об алгебраической независимости значений в алгебраических точках функций и первых двух производных по z последней функции.

В 1968 г. К. Малер [56: 5] обобщил результаты И. И. Белогривова на функции

В 1971 г. И. И. Белогривов [1: 5] доказал ряд теорем об алгебраической независимости значений в алгебраических точках производных любых порядков функции по параметру и некоторых их производных по z.

В 1972-73 гг. К. Ваананен [79: 1, 3] также установил алгебраическую независимость значений в алгебраических точках функций и их производных по z и некоторые другие теоремы об арифметических свойствах значений производных по параметру функций В 1975 г. К. Ваананен [79: 4, 5] доказал теоремы такого же типа для производных по параметрам функций Куммера (5.60), рассмотренных в гл. 6.

Результаты К. Малера, приведенные в § 3, содержатся в его книге [56: 7].