§ 8. Некоторые применения общих теорем

Используя известные результаты об алгебраической независимости над конкретных совокупностей Е-функций, а также результаты, в которых найдены основные алгебраические уравнения, связывающие рассматриваемые Е-функции над с помощью теорем 1—4, 6—9 можно получить соответствующие оценки мер значений многих совокупностей Е-функций. Приведем несколько простейших примеров.

Пусть КЕ-функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

с коэффициентами из Тогда если функции однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над то по теореме 1 при любом выполняются неравенства

а в неоднородном случае неравенство

Пользуясь леммами 3, 4, 7 и 8 гл. 6, получаем, что неравенства (76), (77) и (78) выполняются для Е-функций при ограничениях, наложенных на значения параметров к и в соответствующих леммах и при любом Постоянная 16 в оценке (78) для функции точнее, чем постоянная 123 в оценке (11.26), полученной К. Зигелем.

Пусть теперь Е-функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка

с коэффициентами из Тогда если функции алгебраически независимы над то при любом выполняется неравенство (78).

Пользуясь доказательствами теорем 6 и 7 гл. 6, получим, что неравенство (78) выполняется для функций при ограничениях на параметры в соответствующих теоремах и любом

Пусть теперь трансцендентная Е-функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению (79) (которое может быть и однородным при Тогда если функции алгебраически зависимы над то по лемме 1 гл. 6 они связаны алгебраическим уравнением

где имеет степень по и содержит член

Поэтому по теореме 3 при любом выполняется неравенство

Неравенства (76), (77) и (80) для трансцендентных функций удовлетворяющих дифференциальному уравнению и связанных уравнением примут вид

при любом

Рассмотрим -функций

где и линейно независимы над

Лемма 2. Функции алгебраически независимы над

Доказательство. По формуле Эйлера

Эти равенства показывают, что функции алгебраически зависят от функций как над так и над С и наоборот. Поэтому по свойству алгебраической зависимости степени трансцендентности этих совокупностей функций как над так и над С равны. Но вторая совокупность функций по лемме 21 гл. 3 алгебраически независима над а тогда и первая совокупность функций алгебраически независима над

Аналогично убеждаемся в том, что функции алгебраически независимы над Ввиду уравнений

получаем, что степени трансцендентности совокупности функций (81) как над так и над С равны

Функции (81) составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений

а тогда либо по теореме 9, либо по теореме 8 выполняется неравенство

Неравенство (83) будет также справедливо, если заменить в нем на

Функции (81) служат примером совокупности функций, число минимальных уравнений которой относительно поля равно разности между числом рассматриваемых функций и их степенью трансцендентности над

Упорядочим функции (81) следующим образом: Покажем, что в этом случае уравнения (82) являются минимальными уравнениями совокупности функций (81) относительно Для этого, очевидно, достаточно показать, что при любом совокупность произведений степеней

образует базис векторного пространства над порожденного произведениями степеней

Установим лемму, из которой следует сформулированное утверждение.

Лемма 3. Функции не связаны никаким алгебраическим уравнением над содержащим функции в степени не выше чем первой.

Доказательство. Применим индукцию по I — числу функций входящих в совокупность функций При утверждение выполнено по лемме 2. Предположим, что оно справедливо при и докажем, что тогда оно выполняется и для I функций

Допустим, что имеет место уравнение

Пусть Перепишем уравнение (84) следующим образом;

Положим в левой части уравнения (85)

Тогда по лемме 21 гл. 3 левая часть уравнения (85) будет тождественно равна нулю по

Рассматривая 4 случая: и сравнивая в левой части тождества (85) в первых двух случаях коэффициенты при членах наибольшей степени а в двух последних случаях коэффициенты при членах наименьшей степени получим, что тождество (85) противоречиво. Установленное противоречие завершает доказательство леммы.

Лемма 3 позволяет применить к доказательству неравенства (83) теорему 4.

Рассмотрим Е-функцию

где простое число. удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами порядка имеющему единственную особую точку

По теореме 6 гл. 10 и теореме 1, переформулированной на случай Е-функции, удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению, и ряда ее последовательных производных при значениях удовлетворяющих условию теоремы гл. 10, и любом А, 10, получаем неравенство

Замечания

Первая оценка меры алгебраической независимости значений Е-функций методом, изложенным в гл. 11 и 12, была установлена К. Зигелем в 1929 г. [733] (см. (11.26)).

После доказательства в 1955 г. второй основной теоремы гл. 3, используя работу Зигеля, легко можно было получить общую оценку меры алгебраической независимости значений совокупности Е-функций, удовлетворяющей условиям второй основной На это указывалось в докладе [28-15] и работе [28:8]. Такая оценка была опубликована С. Ленгом в 1962 г. для однородного случая, хотя неоднородный случай рассматривается аналогично. Ленг показал, что при условиях второй основной теоремы (при однородной системе дифференциальных уравнений) при любом выполняется неравенство

где есть постоянная, зависящая только от функций (1) и чисел , а у — положительная постоянная, зависящая только от числа и степени алгебраического поляг получакь щегося присоединением к полю К числа

В 1968 г. А. И. Галочкин [3:1] доказал теорему 2, заменив в неравенстве (86) постоянную конкретной функцией от обобщил результат Ленга на случай более общей меры.

Основная лемма, теоремы 1, 3 и 8 опубликованы в статьях [28:30, 34, 36], теорема 4 в статьях [28:33, 34], а теоремы и 9 в статьях [28:31, 34]. Теорема 5 публикуется впервые.

Заметим, что идея рассмотрения гмногочлена, на которой основывается гл. 12, содержится в статье

Оценкам меры алгебраической независимости значений Е-функций и приближению некоторых чисел, связанных со значениями Е-функций, посвящены статьи К. Ваананена [79:2, 8, 9]