§ 2. Функции K(z), связанные с функциями Бесселя

Рассмотрим функцию

удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению второго порядка

Эта функция только множителем отличается от функции Бесселя с соответствующим индексом

где функция Эйлера. При по лемме 2 гл. 5 функция (8) является гипергеометрической Е-функцией.

Теорема Зигель). Если числа алгебраически независимы.

Для доказательства этой теоремы надо установить алгебраическую независимость функций над

Пусть — некоторое поле аналитических функций, замкнутое по отношению к операции дифференцирования,

Лемма 2. Если дифференциальное уравнение

имеет нетривиальное решение такое, что функции алгебраически зависимы над полем то существует решение у этого уравнения такое, что его логарифмическая производная есть алгебраическая функция над

Доказательство. Если алгебраическая функция над то положив получим, что алгебраическая функция над

Пусть теперь не является алгебраической функцией над Тогда существует неприводимый многочлен

такой, что

Рассмотрим дифференциальный оператор

связанный с дифференциальным уравнением (11). Тогда

Так как по предположению степень трансцендентности над двух функций равна 1, а эти функции удовлетворяют уравнению (13), то по лемме 4 гл. 5 существует функция такая, что

Обозначим сумму всех однородных членов степени к многочлена (12). Ввиду однородности дифференциального уравнения после применения оператора к многочлену каждая сумма всех однородных членов некоторой степени переходит в сумму однородных членов той же степени многочлена или в нуль. Поэтому из тождества (15) имеем, что

Пусть теперь у — произвольное решение дифференциального уравнения Тогда применение оператора к многочлену равносильно применению операции полного дифференцирования по z

Из тождества (16) и равенства (17) имеем при любом решении

дифференциального уравнения (11)

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Оно имеет общее решение

где какое-либо его частное решение.

Из уравнения (18) следует, что функция есть решение уравнения (19) при любом решении у дифференциального уравнения Пусть уч и любые два фиксированных линейно независимых решения уравнения Тогда

при любых и также является решением уравнения Поэтому

где есть однородный многочлен от и с коэффициентами из С, так как левая часть равенства (21) является однородным многочленом от и степени . Отсюда следует, что и 2 можно выбрать одновременно не равными нулю так, что

Обозначим соответствующее решение угуг Тогда из равенства (21) получим, что или

Из равенства (22) следует, что функция есть алгебраическая функция над Лемма доказана.

Лемма 3. Если к у — произвольное нетривиальное решение дифференциального уравнения (9), то функции у и у алгебраически независимы над у не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению первого порядка с коэффициентами из

Доказательство. Допустим противное, что для некоторого нетривиального решения у уравнения (9) функции ужу алгебраически зависимы над Тогда по лемме 2 существует решение у дифференциального уравнения (9) такое, что функция является алгебраической. Функция и есть функция аналитическая во всех точках Поэтому ее возможными точками ветвления могут быть только точки и

Докажем, что не является точкой ветвления функции и. Тогда и точка не будет ее точкой ветвления, так как алгебраическая функция не может иметь только одну точку ветвления. Тем самым будет доказано, что и есть рациональная функция.

Пользуясь дифференциальным уравнением (9), находим, что функция и удовлетворяет дифференциальному уравнению Риккати

Пусть

разложение в степенной ряд какой-либо ветви функции и в окрестности точки с рациональными показателями. Подставляя разложение (24) в уравнение (23), получим

Сравнивая в равенстве (25) коэффициенты при членах с наибольшей степенью z, находим, что

Докажем, что все при являются целыми отрицательными числами.

Допустим противное и предположим, что есть дробный показатель с наименьшим значением индекса к среди всех показателей при степенях z в ряду (24) такой, что

Приравняем в равенстве (25) коэффициенты при степенях z с наибольшим дробным показателем. В первой сумме в равенстве (25) все дробные показатели меньше 1? а в двойной сумме при сложении двух одинаковых членов получаем член Все остальные члены в двойной сумме, имеющие дробный показатель ввиду монотонности показателей таковы, что Следовательно, откуда Это приводит к противоречию, которое доказывает, что все при являются целыми отрицательными числами, точка не является точкой ветвления функцйи и, а есть рациональная функция.

Функция Действительно, в противном случае где Подставляя это значение у в дифференциальное уравнение (9), приходим к противоречию. Поэтому

можно считать, что

где взаимно простые многочлены из

Рассмотрим линейную форму от у и у

где у — произвольное решение дифференциального уравнения (9).

Пусть

— дифференциальный оператор, связанный с дифференциальным уравнением (9). Тогда

Из равенств (26), (27) и (29) следует, что при имеют место уравнения Поэтому как линейные формы от с коэффициентами из линейно зависимы. Но наибольшая из степеней коэффициентов быть может, на единицу больше степеней коэффициентов Поэтому

Сравнивая коэффициенты при в обеих частях тождества (30), пользуясь при этом равенствами (27) и (29), получаем

Из уравнений (31) следует, что Пусть

Сравнивая коэффициенты при в уравнениях (31), находим

откуда

Сравнивая коэффициенты при в уравнениях (31), будем иметь равенства

Умножим обе части второго из равенств (34) на а. После этого вычтем из первого равенства второе, воспользовавшись при этом равенством (33). В результате получим

Из равенств (32) имеем, что Подставим это значение в равенство (35). Пользуясь равенством (33), после сокращения на приходим к соотношению

Многочлены отличны от нуля и взаимно просты. Следовательно, они не могут одновременно делиться на Поэтому из уравнений (31) следует, что либо либо

Если то из равенства (36) находим, что Откуда

Если то в этом случае из равенства (36) имеем или

Объединяя равенства (37) и (38), получим

что противоречит условию леммы. Полученное противоречие доказывает, что функции у и у при условиях леммы алгебраически независимы над Лемма доказана.

Заметим, что в лемме 3 значения не исключаются.

Теорема 2 следует из теоремы 3 гл. 3 и леммы 3.

Покажем, что в теореме 2 случай, когда действительно есть исключение, но при этом числа трансцендентны.

Теорема 3. Если то каждое из чисел и трансцендентно.

Для доказательства теоремы установим вспомогательные предложения.

Лемма 4. Если то функции однородно алгебраически независимы (в частности, линейно независимы) над

Доказательство. Пусть функции однородно алгебраически зависимы над Тогда логарифмическая производная есть алгебраическая функция.

Но эта функция является мероморфной и, следовательно, рациональной функцией. Значит, функции линейно зависимы над Поэтому они связаны уравнением

где взаимно простые многочлены.

В рассматриваемом случае применимы рассуждения, проведенные при доказательстве леммы 3, из которых следует, что

Заменяя в уравнении на — z и пользуясь тем, что являются, соответственно, нечетной и четной функциями, получим

Коэффициенты в уравнениях (39) и (41) пропорциональны, а так как взаимно просты, то они отличаются постоянным множителем, который может быть только одним из чисел ±1. Отсюда следует, что один из многочленов или нечетная, а другой четная функция. Поэтому что противоречит равенству (40). Полученное противоречие доказывает утверждение леммы.

Лемма 5. Если то функции алгебраически зависимы над

Доказательство. Пусть Установим сначала некоторые реккурентные соотношения между функциями и их производными.

Легко проверяется равенство

или

Дифференцируем равенство (42), а потом, пользуясь дифференциальным уравнением (9), исключим из него функцию В результате получим

Из равенств (42) и (43) находим

Докажем по индукции, что функции алгебраически зависимы над

При из равенства (8), определяющего функцию имеем, что и утверждение доказано.

Допустим, что это утверждение выполняется при и докажем, что тогда оно справедливо и при

Полагая в равенствах (43) и получим, что функции алгебраически зависят над от функций последние по предположению индукции алгебраически зависимы над По индукции утверждение справедливо при любом

Пользуясь равенствами (42) и (43) аналогично докажем, что функции алгебраически зависимы над чем и завершим доказательство леммы.

Доказательство теоремы 3. Лемма 5 позволяет воспользоваться рассуждениями, проведенными при доказательстве леммы 3. Существует решение У дифференциального уравнения (9) такое, что является рациональной функцией. Введя обозначения (26) и (27), где у — произвольное решение уравнения (9), приходим к тождеству (30), в котором

Так как то, интегрируя дифференциальное уравнение (30) и подставляя в вместо у функцию получим

Так как левая часть равенства (45) — целая функция, то а по лемме

По лемме 4 гл. 4, коэффициенты многочленов и число с можно выбрать числами из А.

Заменяя в уравнении на и замечая, что функции являются, соответственно, нечетной и четной функциями, будем иметь

Перемножая равенства (45) и (46), получаем уравнение

Пусть По теореме 1 гл. 4 хотя бы одно из чисел или трансцендентно. Поэтому если какие-либо

два из коэффициентов при произведениях в левой части уравнения (47) не обращаются в нуль при то числа оба трансцендентны.

Все три из рассматриваемых коэффициентов обратиться в нуль при не могут, так как

Если крайние коэффициенты обращаются в нуль при то из уравнений (47) следует, что оба числа (1) и трансцендентны.

Если левый и средний коэффициенты обращаются в нуль при то ввиду того, что взаимно простые многочлены, имеем Тогда из равенств (45) и (46) по теореме 6 гл. 2 следует, что число трансцендентно, а из равенства (47) имеем, что это число алгебраическое. Следовательно, рассмотренный случай невозможен.

Аналогично доказывается невозможность случая, когда в левой части равенства (47) средний и правый коэффициенты обращаются в нуль при

Итак, при условиях теоремы 3 оба числа трансцендентны. Теорема доказана.

Из теоремы 2 следует, что при ее условиях число трансцендентно. Этот результат получается и из теоремы 2 гл. 3 и леммы 3, а лемма 4 позволяет распространить его и на случай, когда

Пусть к Из теорем 2 и 3 имеем, что все нули функций трансцендентны. Поэтому из равенства (10) получаем, что все нули функции Бесселя, отличные от 0, трансцендентны, а из равенства

находим, что все нули производной также трансцендентны. Равенство

дает возможность утверждать, что при любом значение логарифмической производной трансцендентно.

Рассмотрим функцию

Тогда

Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

последовательно дифференцируя которое, имеем

Из этих дифференциальных уравнений находим

Подставляя в этих равенствах каждое последующее в предыдущее, получим разложение в непрерывную дробь

Так как

то из теоремы 2 гл. 3 и лемм 2 и 3 получаем, что значение непрерывной дроби (49) при любом и любом трансцендентно. В частности, при имеем, что число

трансцендентно.