§ 6. Некоторые применения общих теорем

В гл. 5—10 установлены утверждения об алгебраической независимости над многих классов Е-функций и соответствующие арифметические результаты для их значений в алгебраических точках. Теоремы гл. 11 в случае, когда позволяют без каких-либо дополнительных исследований указывать

в этих случаях оценки мер значений соответствующих функций. Таким образом, все качественные арифметические теоремы гл. 5—10 получают количественные характеристики в виде оценок соответствующих мер. Приведем несколько простейших примеров.

Трансцендентная Е-функция

удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению первого порядка (5.18). Поэтому по теореме 6

В частности, при

Если различные числа из I, то по лемме 20 гл. 3 функции

линейно независимы над По теореме 1

Е-функция

удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка (6.9), а по лемме 3 гл. 6 функции алгебраически независимы над Поэтому по теореме 5 при

Из неравенства (90) ввиду равенств (6.48) и (6.49), в частности, следуют оценки

где а есть значение цепной дроби

Пусть и удовлетворяют условиям теоремы Зигеля из гл. 9. Перенумеруем множество функций произвольно и обозначим

По следствиям 2 и 3 из теоремы 7 и лемме 1 гл. 9 выполняются неравенства

Рассмотрим -функции

удовлетворяющие линейным однородным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из с особой точкой (см. гл. 8 § 1). Используя доказательство теоремы 6 гл. 8, по теореме 5 и следствию 1 из теоремы 7 получаем неравенства

Рассмотрим Е-функции

В доказательствах теорем 2 и 5 гл. 8 установлено, что как функции так и функции алгебраически независимы над Рассмотрим тройки функций,

каждая из которых связана уравнением и удовлетворяет соответствующей системе дифференциальных уравнений:

По теореме 8 и замечанию к ней получаем неравенства

Пусть

где В доказательстве теоремы 4 гл. 8 установлено, что эти функции алгебраически независимы над а вместе с функцией связаны уравнением и удовлетворяют системе из линейных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами из с особой точкой Поэтому по теореме 8 и замечанию к ней имеем

Рассмотрим снова функции Если то в § 8 гл. 9 доказано, что степень трансцендентности над множества функций

равна 3 и эти функции связаны уравнением

Они удовлетворяют системе линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с особой точкой Обозначим любые три из этих функций. Тогда по теореме 8 и замечанию к ней находим

Замечания

Схема метода оценки линейной формы, изложенная в § 1, содержится в статье К. Зигеля В той же статье Зигель указывает, не приводя доказательства, что его методом можно установить оценку

где функция Бесселя, — любое положительное число, а с зависит только от и 8.

Теоремы 1—6 и следствие 2 из теоремы 7 были опубликованы в 1967 г. в статье [28:21], а теорема 7 в 1977 г. в работе для мер Теорема 1 в окончательной формулировке и теоремы 8—11 опубликованы в 1980 г. в статье Теоремы об оценках мер IE-функций, уточняющие остаточный член в показателе неравенств, были анонсированы в заметке в 1967 г., а опубликованы с доказательствами в 1979 г. в статье Теорема 1 содержится также в работе

Пользуясь известным принципом переноса А. Я. Хинчина [26:1], из теоремы 1 можно получить оценку для совместных приближений чисел рассмотренных в теореме 1, рассуждая так же, как в статье А. И. Галочкина [20:8], где решается аналогичная задача для значений некоторых гипергеометрических функций. Аналогичные результаты о совместных приближениях можно получать из теорем об оценках мер, доказанных в гл. 12 и 13.

Отметим статьи Ю. Н. Макарова [10:1-3] об оценках линейных форм и многочленов от значений Е-функций, которые зависят либо от величин всех коэффициентов формы, либо от высот многочлена по нескольким подгруппам его коэффициентов. Такого же типа оценки линейных форм от значений Е-функций содержатся в статьях К. Ваананена [79:6, 7, 10] и Р. Валлиссера [86 :1].