§ 11. Ранг совокупности чисел

Совокупность чисел имеет ранг над полем К, если максимальное число линейно независимых над К среди них равно

Если числа имеют ранг над полем К, то ту а при эти числа связапы ровно линейно независимыми линейными однородными уравнениями с коэффициентами из К.

Лемма 17. Пусть совокупность КЕ-функций составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (7) и линейно независима над

Тогда ранг над полем К множества чисел

удовлетворяет неравенству а если то неравенству В частности, при где I — мнимое квадратичное поле, выполняется равенство

Доказательство. Точка не является особой для системы (7). Поэтому среди чисел (143) имеются отличные от нуля. Отсюда следует, что Если то лемма справедлива. Пусть Тогда числа (143) связаны ровно линейными однородными уравнениями

где — линейно независимые над К линейные формы от величин (143). Обозначим Тогда

По лемме 16 при любом и любом существуют линейно независимых линейных форм (136) от чисел (143) таких, что

Поэтому среди этих форм можно выбрать форм, которые вместе с формами (144) будут линейно независимы. Пусть для определенности это будут формы

Обозначим определитель из коэффициентов линейных форм (144) и (148). Так как все элементы принадлежат то Обозначим алгебраическое дополнение элемента строки и столбца в

Умножая обе части каждого из равенств (144) и (148), соответственно на при фиксированном и складывая все полученные равенства при как и в случае равенства (42) для определителя А, ввиду уравнений (144), получим равенства

Пользуясь оценками (145) и (147), находим, что

и аналогично

Выберем число так, чтобы Тогда из соответствующего равенства (149) и оценок (146) и (150) находим, что

откуда

Из соотношений (151) и (152) получаем оценку

где норма числа в поле К. Но норма числа из принадлежит Так как линейные формы (144) и (148) линейно независимы, то и поэтому Значит,

Из условий (153) и (154) получаем неравенство

а Ввиду произвольности неравенство или

Пусть теперь Тогда среди чисел, сопряженных с в поле К, имеется комплексно сопряженное с ним число для которого Поэтому из оценок (151) и (152) вместо оценки (153) аналогично получаем оценку

из которой следует, что В случае имеем Но так как то Лемма доказана.