Замечания

Доказательство иррациональности числа использующее числовой ряд (1), обычно приводящееся в учебниках, содержалось еще в курсе анализа Ш. Фурье, опубликованном в 1815 г. [42 :1]. Ж. Лиувилль [55 :3, 4] доказал, что числа не могут быть квадратичными иррациональностями. А. Гурвиц [47 :1], усложнив элементарный метод доказательства, показал, что не может быть корнем кубичного уравнения с коэффициентами из

Заметим, что из доказательства Ламберта [50 :1] следовало более сильное утверждение, чем то, которое было указано во Введении: число иррационально при любом для которого

А. Лежандр [52 :1] доказал иррациональность

Дальнейшие попытки исследовать арифметическую природу чисел и долгое время не приводили к успеху. Эйлер, Ламберт, Лежандр и другие математики высказывали предположение о том, что и не могут быть алгебраическими числами.

После доказательств Эрмита трансцендентности числа в и Линдемана трансцендентности числа и общих теорем об арифметических свойствах значений показательной функции появилось много работ известных математиков, в которых вносились улучшения и упрощения в доказательства Эрмита и Линдемана, не менявшие основ их метода. Отметим некоторые из этих работ: К. Вален [80 : 1], О. Веблен [83 : 1], Д. Гильберт [46:1], А. Гурвиц {47 :2], А. А. Марков [11:1,2], Ф. Мертенс

[60:1], Е. Руше [67 :1], Д. Сильвестр [75 :1,2], Т. Стильтьес [74:1], Ф. Шоттки [71:1]. Особо следует отметить работу К. Вейерштрасса [87 :1], в которой проведено обстоятельное исследование, связанное с общей теоремой Линдемана.

Более полные сведения о работах, связанных с методом Эрмита — Линдемана можно найти в книге Я. Коксма [48 :1], а подробный обзор работ, относящихся к проблеме квадратуры круга, содержится в книге Ф. Рудио [68 :1]. Сведения о работах, связанных с методом Эрмита — Линдемана, содержатся в обзорной статье Н. И. Фельдмана и А. Б. Шидловского [25 :1].

С различными доказательствами трансцендентности чисел чисел при и теоремы Линдемана можно познакомиться по книгам А. Бейкера [32:5], М. Вальдшмидта [84 :1], А. О. Гельфонда [5 :8], К. Зигеля [73 :4], В. Левека [53 :1], [53 :1], С. Ленга [51:1,3], Н. И. Фельдмана [24 :8], А. Б. Шидловского [28 :35], Т. Шнейдера [70 :6]. В монографии К. Малера [56:7] целая глава посвящена изложению различных доказательств трансцендентности чисел

Доказательство теоремы 6 представляет собой переработку доказательства А. О. Гельфонда (см. [5:9], гл. 2 § 4). Изложение § 4—7 в основном следует книге К. Зигеля [73 :4].