Глава 12. МЕРА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ ЗНАЧЕНИЙ КЕ-ФУНКЦИЙ

§ 1. Основная лемма

В этой главе устанавливаются оценки мер алгебраической независимости значений КЕ-функций в алгебраических точках в различных случаях в зависимости от числа и структуры алгебраических уравнений, связывающих эти функции над

Коэффициенты степенных рядов рассматриваемых функций будут принадлежать алгебраическому полю К, а коэффициенты многочленов, входящих в определение меры, — алгебраическому полю К. Поле будет алгебраическим полем, содержащим поля и фиксированное число Совокупность КЕ-функций

будет составлять решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений

или системы линейных дифференциальных уравнений

для которых многочлен будет иметь принятый всюду в книге смысл.

Чтобы избежать повторения однотипных рассуждений, изложим схему оценки мер в виде следующей ниже основной леммы.

В § 1 рассмотрим однородный случай. Пусть функции (1) удовлетворяют системе (2), по-прежнему при каждом обозначает множество произведений степеней

Пусть обозначают множества произведений степеней функций (1), удовлетворяющих следующим условиям.

2°. Число элементов равно — некоторая положительная возрастающая функция от

3°. Элементы линейно независимы над

4°. Совокупность функций множества составляет решение системы из линейных однородных дифференциальных уравнений вида (2), в которой число заменено на и которая может иметь особыми точками только точки из где А — некоторое конечное множество, содержащее и нули многочлена

Совокупность множеств для КЕ-функций (1), удовлетворяющих системе (2), всегда существует. Например, если функции (1) однородно алгебраически независимы над то ввиду леммы 18 гл. 3 можно положить Если же функции (1) однородно алгебраически зависимы над то, рассуждая, как в § 1 гл. 4, убеждаемся в том, что в качестве можно взять, например, любой базис линейного пространства порожденного элементами множества над состоящий из функций (4).

Пусть Обозначим теперь числовые множества, получающиеся из множеств если во всех их элементах положить

Однородный многочлен

при некоторых назовем многочленом, если выполняются условия:

1°. Многочлен от чисел

для любого элемента быть представлен в виде линейной формы от элементов множества с коэффициентами из

2°. Все такие линейные формы от элементов множества получающиеся из различных многочленов (6), линейно независимы над

3°. Существует постоянная зависящая от КЕ-функций (1), чисел такая, что все эти линейных форм, после умножения их на некоторые натуральные числа, имеют коэффициенты из с размерами не превосходящими

В дальнейшем в доказательствах теорем об оценках мер будут представлять интерес два случая.

1. После почленного перемножения членов в каждом из выражений (6), эти выражения представляют собой линейные формы от элементов Коэффициенты этих форм либо нули, либо коэффициенты многочлена Тогда очевидно, что для этих форм условия выполняются и при таких и 1 многочлен есть многочлен.

2. Все элементы множества линейно выражаются через элементы множества с коэффициентами из Тогда с помощью этих соотношений, после перемножения членов в каждом из выражений (6), последние представляются в виде линейных форм от элементов Если эти формы линейно независимы над то при таких многочлен есть гмногочлен, так как условия для полученных линейных форм также выполняются.

Если КЕ-функции (1) однородно алгебраически независимы над то любой многочлен (6) будет многочленом при каждом и любом

В дальнейшем в гл. 12 будут использоваться следующие обозначения. Положительные постоянные а, с и с индексами и без индексов всюду будут зависеть:

1) постоянные а (в § 1) от КЕ-функций (1), чисел и чисел рассматриваемых в § 1;

2) постоянные с (в § 1—6) от КЕ-функций (1), чисел и

3) постоянные к (в § 3—6) от КЕ-функций (1) и числа I — степени трансцендентности множества функций (1) над

Основная лемма. Пусть заданы множества Многочлен (5) при некоторых и является многочленом,

Тогда если таково, что

то существует постоянная с такая, что выполняется неравенство

Доказательство. Занумеруем КЕ-функции, входящие в произвольным образом и обозначим их

Аналогично обозначим функции множества

Рассмотрим совокупность многочленов от чисел

Тогда по определению многочлена при соответствующем выборе чисел многочлены можно представить в виде

где правые части есть линейные формы от чисел

Из свойств определяющих множества следует, что совокупность КЕ-функций (9) удовлетворяет всем условиям леммы 16 гл. 3, если в последней заменить число на и функции (1) на функции (9). По этой лемме при любом и любом где число определено равенством (3.83), существует совокупность линейно независимых линейных форм от чисел

таких, что

Рассмотрим числовые линейные формы (12) от чисел (13). Из определения -многочлена следует, что эти линейные формы линейно независимы над Поэтому из линейных форм (14) можно выбрать форм

которые вместе с формами (12) будут линейно независимы над

Пусть обозначает определитель матрицы, составленной из коэффициентов линейных форм (12) и (16).

Так как то хотя бы одно из чисел (13) отлично от нуля. Будем считать, что поскольку нумерация функций (9) в нашем распоряжении.

Из равенств (12) и (16) имеем

алгебраические дополнения элементов первого столбца в определителе

С помощью оценок (12) и (15) находим, что

Из равенств (12) и (17), пользуясь оценками (15) и (18), получаем

Если норма алгебраического числа в поле то, поскольку и , имеем

С помощью оценок (12) и (15) получаем

Оценки (19) — (21) позволяют установить неравенство

Выберем число наименьшим возможным так, чтобы удовлетворялись условия

При сделанных предположениях, начиная с некоторого Я, выполняется неравенство откуда

Пусть число выбрано так, что выполнено условие (7). Тогда при достаточно малом выполняется неравенство

Из неравенств (22), (23) и (25) следует, что

и

Неравенства (26) и (24) позволяют получить оценку

откуда при достаточно малом ввиду неравенства (25), следует неравенство (8). Лемма доказана.

С помощью основной леммы доказываются нижеследующие теоремы 1—4 и 6—9 гл. 12. В них и в теореме 5 неоднородные случаи являются следствиями однородных, в чем легко убедиться, как и в гл. 4, при рассмотрении соответствующих качественных теорем. Доказательства теорем 1—9 будут проводиться только в однородных случаях.