Замечания

С вопросами приближения действительных чисел можно познакомиться по книгам А. Я. Хинчина [26: 2], В. Касселса [38:1], С. Ленга [51:5], А. Б. Шидловского [28: 35] и В. Шмидта [69:4].

Простейшие сведения об алгебраических числах содержатся в книгах Н. И. Фельдмана [24: 6] и А. Б. Шидловского [28: 35]. Подробнее теория алгебраических чисел изложена в книгах

3. И. Боревича и И. Р. Шафаревича [2:1], Э. Гекке [44:1] и Г. Вейля [88:1], С. Ленга [51:4].

Сведения о числах Лиувилля можно найти в работе Малле по-видимому, первой книге, посвященной свойствам трансцендентных чисел.

Проблемы теории приближения алгебраических чисел достаточно подробно изложены в монографиях К. Б. Столярского [76:1] и Н. И. Фельдмана [24: 6]. Доказательства теорем Туэ и Рота содержатся в [24: 6], теоремы Зигеля в [28: 35], а теоремы Рота в [38: 1]. Авторское доказательство теоремы Рота в переводе на русский язык можно найти в сборнике «Математика» [66:1].

Обзоры работ по приближению действительных и алгебраических чисел имеются в книге Я. Коксма [48:1] и стать& Н. И. Фельдмана и А. Б. Шидловского [25:1]. В последней статье приводятся более точные оценки, чем в теоремах 8—10.

Отметим некоторые результаты, обобщающие теоремы Зигеля и Рота.

В 1921 г. в работе [73: 1] К. Зигель доказал следующие утверждения.

Пусть Тогда:

1) если то для любого неравенство

имеет лишь конечное множество решений в примитивных числах 0 поля

2) если то для любого неравенство

имеет лишь конечное множество решений в числах

В работах К. Зигеля [73: 2], Т. Шнейдера [70: 3] и К. Малера [56: 2] доказаны теоремы, смысл которых заключается в следующем: если число допускает «очень хорошие» приближения порядка числами из то решения соответствующего неравенства

очень редки.

С помощью теорем Шнейдера и Малера доказаны теоремы о трансцендентности чисел некоторых классов. Так, например, К. Малер в 1937 г. [56: 3] доказал трансцендентность чисел а, указанных в § 1 Введения.

В 1956 г. В. Левек [53:1] обобщил теорему Рота, доказав, что если то неравенство

имеет лишь конечное число решений в числах 6 из фиксированного алгебраического поля К.

В 1969 г. Вирзинг обобщил теорему Рота на случай приближения алгебраического числа алгебраическими числами ограниченной степени. Он доказал, что если то при неравенство (69) может иметь лишь конечное число решений в числах степени, не превосходящей

Другие авторы обобщали теорему Рота в различных направлениях. Отметим лучшие результаты В. Шмидта, полученные в 1970—1975 гг. [69:1-4]. Он обобщил теорему Рота на случай приближения алгебраического числа а числами из А ограниченной степени и на различные случаи совместных приближений алгебраических чисел числами из Приведем лишь один из этих результатов.

Пусть Тогда существует лишь конечное множество чисел таких, что

В заключение заметим следующее. С помощью теоремы Лиувилля строятся примеры трансцендентных чисел, которые хорошо приближаются рациональными числами. Но если использовать результаты о приближении алгебраических чисел иррациональными алгебраическими числами, то можно строить примеры трансцендентных чисел, которые имеют минимальный наилучший порядок приближения рациональными числами, т. е. у которых элементы разложений в цепные дроби ограничены.

Э. Малле [58: 1] построил примеры трансцендентных чисел, имеющих ограниченные элементы разложения в цепные дроби. Доказательство основано на том, что указанные им числа хорошо приближаются квадратичными иррациональностями.