§ 6. Совокупность линейных приближающих форм

В конце § 5 при доказательстве трансцендентности числа существенным пунктом было утверждение о том, что число отлично от нуля. Это следовало из неравенства (115). Если же произвольные различные комплексные числа, то из приведенного в § 5 рассуждения теперь не следует, что Изменим доказательство так, чтобы последнее утверждение выполнялось и в этом случае.

Фиксируем любое значение к из ряда чисел положим и обозначим соответствующую приближающую форму, построенную по лемме 5:

Итак, степени многочленов являются числами которые равны либо либо в зависимости от того выполняется ли неравенство , или неравенство

Рассмотрим определитель системы линейных форм (128)

Он представляется в виде суммы Слагаемых, являющихся многочленами от Все эти многочлены имеют степени меньшие чем кроме одного, получающегося от перемножения членов А, стоящих на главной диагонали, который имеет степень равную Поэтому

Обозначим алгебраические дополнения элементов первого столбца в А. Тогда

Поскольку то из равенства (129) следует, что А имеет при нуль, по крайней мере, порядка Но его степень равна Поэтому

Тогда из равенства (129) получаем, что хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Последнее утверждение позволяет распространить доказательство трансцендентности числа проведенное в § 5, на случай комплексного алгебраического числа Тем самым теорема 6 полностью доказана другим методом, основанным на конструировании линейных приближающих форм для функций