Глава 10. РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРОСТОГО ПОРЯДКА p

§ 1. Формулировки основных результатов

В гл. 5, 6 и 9 рассмотрены задачи об алгебраической независимости над совокупности аналитических функций, являющихся решениями линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков с коэффициентами из Это позволило с помощью общих теорем о трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций, установленных в гл. 3 и 4, доказать трансцендентность в алгебраическую независимость значений в алгебраических точках ряда конкретных совокупностей Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям первого и второго порядков. В гл. 7 и 8 аналогичные задачи рассматривались и для решений некоторых специальных классов дифференциальных уравнений произвольных порядков. При исследовании алгебраической независимости решений более общих дифференциальных: уравнений порядка выше второго возникают существенные трудности, которые до настоящего времени полностью не преодолены.

В. А. Олейников в 1966—69 гг. [20 :3-6] провел исследование алгебраической независимости решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка. Он предложил общийг подход к решению таких задач, являющийся развитием и обобщением рассуждений К. Зигеля [73 : 3, 4], рассмотренных в гл. 5 и 9. Изложим коротко основную идею метода Олейникова.

Пусть — некоторое поле аналитических функций, содержащее

Алгебраическое дифференциальное уравнение

называется приводимым над полем если оно имеет решение удовлетворяющее алгебраическому дифференциальному Уравнению с коэффициентами из 2, порядка меньшего чем

является ненулевой алгебраической функцией над В противном случае уравнение (1) называется неприводимым над полем

Алгебраическое дифференциальное уравнение (1) называется линейно (линейно однородно) приводимым над полем 3, если оно имеет решение удовлетворяющее линейному (линейному однородному) дифференциальному уравнению меньшего порядка с коэффициентами из В противном случае уравнение (1) называется линейно (линейно однородно) неприводимым над полем

Для каждого к на множестве аналитических функций от к комплексных переменных, определенных в некоторой области пространства рассмотрим оператор действующий на функцию следующим образом:

Одной из основных в рассуждениях Олейникова является доказанная им следующая общая теорема.

Теорема 1. Алгебраическое дифференциальное уравнение (1) неприводимо над полем тогда и только тогда, когда при любом к никакая алгебраическая над функция не удовлетворяет уравнению

Таким образом, задача доказательства алгебраической независимости каждого решения уравнения (1) со своими производными до порядка включительно сводится к исследованию некоторых дифференциальных уравнений в частных производных и доказательству отсутствия у них алгебраических решений.

При т. е. для функций от одной переменной, в подобной ситуации Зигель использовал ряды Пюизо, являющиеся разложениями алгебраической функции в окрестности особых точек по дробным рациональным степеням Подстановка этих разложений в соответствующие дифференциальные уравнения и сравнение коэффициентов приводит к ряду соотношений между степенями и коэффициентами разложений, которые позволяют получить необходимые утверждения (см. § 2 гл. 6).

Для исследования уравнений (2) Олейников применяет тот же прием с использованием алгебраических функций нескольких переменных. Алгебраическая функция представляется

в виде ряда

где являются алгебраическими функциями от переменных и дробные рациональные показатели имеют один и тот же знаменатель. Подстановка разложения (3) в уравнение (2) и сравнение коэффициентов при одинаковых степенях z приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных, подобных (2), для функций Эти функции зависят от меньшего числа переменных. Вновь полученные уравнения исследуются аналогичным способом.

Реализация этой схемы в конкретных случаях является сложной. Олейникову удалось провести ее только для некоторых дифференциальных уравнений третьего порядка и применить соответствующие результаты для доказательства алгебраической независимости значений в алгебраических точках некоторых гипергеометрических Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям третьего порядка.

В 1969 г. Ю. В. Нестеренко использовал в доказательствах алгебраической независимости функций теорию полиномиальных идеалов и доказал, что если линейное дифференциальное уравнение (неоднородное или однородное) приводимо, та соответствующее ему однородное дифференциальное уравнение имеет решение, удовлетворяющее однородному алгебраическому дифференциальному уравнению меньшего порядка (см. теорему 2 в гл. 9 и лемму 1 в § 2).

В 1977 г. В. Салихов пользуясь этим результатом Нестеренко, установил, что при некоторых ограничениях на коэффициенты линейного уравнения (1) функции в ряде (3) являются линейными формами от Он доказал следующую общую теорему.

Теорема 2. Пусть простое число, причем функции равны 0 в точке принимает в этой точке конечное значение, отличное от нуля.

При этих предположениях:

1°. Дифференциальное уравнение

приводимо над тогда и только тогда, когда оно линейна однородно приводимо над полем алгебраических функций от

2°. Если, кроме того, функции имеют полюсов в области то уравнение (4) приводимо над тогда и только тогда, когда оно линейно однородно приводима над

Решающее значение в доказательстве этой теоремы имеет тот факт, что корни степени из 1 связаны единственным (с точностью до множителя) линейны уравнением с коэффициентами из В этом обстоятельстве и заключается причина того, что теорему 2 не удается распространить на случай дифференциального уравнения (4), порядок которого есть составное число.

Теорема 2 сводит доказательство неприводимости рассматриваемого дифференциального уравнения к доказательству его линейной однородной неприводимости, что значительно проще доказательства неприводимости.

Заметим, что В. А. Олейников в работе при рассмотрении случая по существу, обнаружил, что функции в равенстве (3) являются линейными формами.

В. Салихов применил теорему 2 к гипергеометрическим функциям

По лемме 1 гл. 5 эти функции удовлетворяют линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами из порядка

Установив некоторое достаточное условие линейной однородной неприводимости однородного уравнения, соответствующего уравнению (5), В. Салихов доказал следующую теорему.

Теорема 3. Пусть — простое число, комплексные числа, отличные от отрицательных целых, причем для всех и для произвольных наборов выполняются условия

Тогда однородное дифференциальное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (5), неприводимо над а функции

алгебраически независимы над

Из теоремы 3 гл. 3 и теоремы 3 следует утверждение об алгебраической независимости значений функций (6).

Теорема 4 (В. X. Салихов). Если простое число, рациональные числа, удовлетворяющие условию теоремы то чисел

алгебраически независимы.

Условия теоремы 3 являются лишь достаточными для алгебраической независимости над функций (6). Для уточнения условий теоремы 3 и 4 необходимо проводить исследование линейной однородной неприводимости линейного однородного дифференциального уравнения, соответствующего уравнению (5). Одно из таких исследований проведено В. А. Олейниковым [20:8]. Используя полученный результат и теорему 2, он доказал теорему, содержащую другое достаточное условие алгебраической независимости значений функций (6).

В. А. Олейников высказал также следующую гипотезу: функции (6) алгебраически зависимы над тогда и только тогда, когда и множество чисел образует полную систему вычетов по модулю При это утверждение справедливо (см. теорему 8 гл. 6).

В 1985 г. В. В. Казаков и В. X. Салихов одновременно и независимо разными методами провели дальнейшие исследования линейной неприводимости, связанные с дифференциальным уравнением (5).

Казаков установил достаточное условие линейной однородности неприводимости однородного дифференциального уравнения, соответствующего уравнению (5), которое позволило уточнить утверждение теоремы 4. Условие этой теоремы, наложенное на параметры было заменено следующим: числа не являются целыми, образующими приведенную систему вычетов по модулю Можно показать, что в случае однородности дифференциального уравнения (5) последнее условие является и необходимым для утверждения реоремы.

Салихов установил необходимое и достаточное условие линейной однородной неприводимости однородного уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению (5), доказал упомянутую выше гипотезу Олейникова об алгебраической независимости функций (6) над и тем самым получил необходимое и достаточное условие для выполнения утверждения теоремы 4. Он также установил необходимое и достаточное условие линейной однородной неприводимости однородного дифференциального уравнения, соответствующего уравнению (5.5) для общей гипергеометрической функции (5.1).

Эти результаты Казакова и Салихова еще не опубликованы. Но автор книги получил разрешение воспользоваться их доказательствами. В этой главе будет доказана теорема Салихова.

При этом для установления достаточного условия линейной однородной неприводимости соответствующего дифференциального уравнения используются рассуждения Казакова.

Положим

Легко проверить, что функции составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений

Пусть Обозначим

Если существует перестановка чисел такая, что то в этом случае введем обозначение

Теорема Салихов). Если простое число, рациональные числа, отличные от отрицательных целых, а выполняются следующие утверждения:

1°. чисел алгебраически независимы тогда и только тогда, когда выполняется условие

2°. чисел алгебраически независимы в том и только том случае, когда выполняется условие (8).

Условие (8) означает, что числа не являются целыми числами, образующими полную систему вычетов по модулю

Для доказательства теоремы 5 будет установлена следующая теорема.

Теорема 6 (В. X. Салихов). Если простое число, то выполняются следующие утверждения:

1°. функций алгебраически независимы над тогда и только тогда, когда выполняется условие (8).

2°. функций алгебраически независимы над в том и только том случае, когда выполняется условие (8).

Пусть снова поле аналитических функций, содержащее поле

Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами из называется приводимой (линейно приводимой) (линейно однородно приводимой) над полем , если она имеет решение такое, что его компоненты алгебраически зависимы (линейно зависимы с 1) (линейно зависимы) над но не все равны нулю.

В противном случае эта система называется неприводимой. (линейно неприводимой) (линейно однородно неприводимой) над полем

В дальнейшем будет доказана теорема, обобщающая теорему 2 на случай решений системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Теорема 7. Пусть

и все функции принимают в точке конечные значения а корни характеристического многочлена матрицы таковы, что двумерные векторы линейно независимы над

Тогда:

1°. Если система (9) приводима над полем то она линейно однородно приводима над полем алгебраических функций над

2°. Если, кроме того, все функции не имеют полюсов в области то система (9) линейно однородно приводима над полем

Эта теорема установлена Нестеренко в 1983 г. и еще не опубликована. Ее изложение в книге подготовлено Нестеренко по просьбе автора. Доказательство теоремы 8 использует основные идеи В. Салихова из его доказательства теоремы 2. Вместе с тем оно отличается некоторыми техническими усовершенствованиями упрощениями.

Теорема 2 совсем просто следует из теоремы 7. Теорема 6 будет доказана с помощью теорем 7 и 2. Теорема 5 доказывается с помощью теоремы 6 и второй основной теоремы гл. 3.