§ 10. Минимальные уравнения

Пусть У — поле, его расширение, а

Рассмотрим произвольное непустое множество произведений степеней элементов (90)

Как условлено в § 3, элементы любого множества такого типа всегда считаем упорядоченными в порядке лексикографического расположения по степеням

Элемент множества называется минимальным, если для любого другого элемента из существует такое что выполняется неравенство

Лемма 13. В любом множестве подмножество его минимальных элементов не пусто и конечно.

Доказательство. Очевидно, что любой элемент множества у которого сумма наименьшая, является минимальным элементом.

Теперь допустим противное, что множество минимальных элементов множества бесконечно.

Пусть какой-либо минимальный элемент с наименьшей суммой Тогда у любого другого минимального элемента по определению, один из показателей удовлетворяет неравенствам

Поэтому во множестве содержится бесконечное подмножество минимальных элементов

показатели которых при некотором одном и том же значении удовлетворяют неравенствам

Это означает, что каждый из показателей - равен одному из чисел

Следовательно, существует бесконечное подмножество множества минимальных элементов

у которых

Повторяя предыдущее рассуждение, исходя при этом из множества получим бесконечное подмножество минимальных элементов

у которых

Повторив это рассуждение раз, найдем бесконечное подмножество минимальных элементов такое, что при некотором значении любые два его элемента и удовлетворяют следующему условию

Но это условие противоречиво, так как во множестве минимальным элементом может быть только один элемент с наименьшим показателем Полученное противоречие доказывает утверждение леммы.

Лемма 14. Для любого элемента множества в его подмножестве минимальных элементов найдется элемент удовлетворяющий условию

Доказательство. Пусть фиксированный элемент множества Рассмотрим подмножество элементов из удовлетворяющих неравенствам

Каждый элемент из у которого сумма наименьшая, является минимальным элементом во множестве

Действительно, если такой элемент не является минимальным в то по определению минимального элемента, во множестве найдется элемент их такой, что выполняются неравенства

Причем по крайней мере при одном значении так как в противном случае элемент был бы минимальным. Следовательно,

Но Поэтому элемент а тогда неравенство (92) противоречит выбору элемента

Минимальный элемент и из удовлетворяет утверждению леммы для элемента их

Пусть элементы (90) однородно алгебраически зависимы (алгебраически зависимы) над Рассмотрим совокупность всевозможных однородных (произвольных) алгебраических уравнений, связывающих элементы (90) над полем Как и в § 3, условимся считать, что левые части этих уравнений расположены в порядке лексикографического расположения по степеням элементов (90), а их старшие члены имеют коэффициенты равные 1.

Пусть теперь является множеством различных старших членов всех таких уравнений. По лемме 13 множество содержит непустое и конечное подмножество его минимальных элементов

а по лемме 14 показатели любого элемента множества при некотором значении удовлетворяют неравенствам

Теперь рассмотрим любую совокупность однородных (произвольных) алгебраических уравнений между элементами (90) с коэффициентами из V, старшие члены которых составляют все множество взятых по одному минимальных элементов (93), и обозначим ее

где уравнения расположены по уменьшению порядка их старших членов.

Если то совокупность уравнений (95) состоит из одного неприводимого уравнения. Если же , то она не является единственной совокупностью уравнений, удовлетворяющей указанным выше условиям. Действительно, пусть есть любое из уравнений (95). Сложим его С уравнениями умноженными, соответственно, на некоторые элементы из V, и заменим уравнение на полученное уравнение. Проделав это при всех или некоторых значениях будем иметь новую совокупность уравнений того же типа, что и уравнения (95).

Покажем, что для элементов (90) из всех таких совокупностей уравнений, что и рассматриваемые уравнения (95), при некотором дополнительном условии можно выделить одну однозначно определенную совокупность уравнений.

Рассмотрим множество (множество произведений степеней элементов (90). Разобьем это множество на два подмножества и

Будем вести рассуждения только в однородном случае. Неоднородный случай сводится к однородному, если заменить на и положить Тогда элементы примут вид

Обозначим также для минимальных элементов

Произведение отнесем к если при любом значении среди его показателей найдется показатель удовлетворяющий неравенству

В противном случае это произведение отнесем к множеству

Если то показатели произведения принадлежащего при некотором удовлетворяют неравенствам (94).

Для минимальных элементов (93) обозначим

Тогда если если

Заметим, что элементы множества при любом линейно независимы над У. Действительно, в противном случае по определению множества старшии член любого линейного уравнения, связывающего элементы над V, должен принадлежать множеству Поэтому по лемме 14 при некотором значении показатели этого члена должны удовлетворять неравенствам (94) и, следовательно, он должен принадлежать множеству что невозможно.

Лемма 15. При каждый элемент множества представляется в виде линейной комбинации элементов множества с коэффициентами из

Доказательство. Ввиду неравенств (94) любой элемент множества можно представить при некотором

значении у, К] в виде

а поэтому с помощью уравнения из совокупности (95) выразить его в виде линейной комбинации элементов множества (множества низшего порядка с коэффициентами из У. Если правая часть такого представления содержит элементы то применим указанный процесс к их старшему по порядку члену. Повторяя это рассуждение конечное число раз, получим искомое представление.

Лемма 16. Для элементов множества (90) однородно алгебраически зависимых (алгебраически зависимых) над полем V существует единственная совокупность однородных (произвольных) алгебраических уравнений (95) с коэффициентами из V, у которых множество старших членов совпадает с множеством минимальных элементов (93), а каждый член не являющийся старшим, при любом значении среди своих показателей имеет показатель удовлетворяющий неравенству (96).

Доказательство. Рассмотрим любую совокупность однородных (произвольных) алгебраических уравнений (95), старшие члены которых составляют все множество взятых по одному минимальных элементов (93). Пользуясь леммой 15, заменим в каждом из этих уравнений все члены, принадлежащие множеству кроме старшего, на линейные комбинации элементов множества с коэффициентами из В результате получим совокупность уравнений, удовлетворяющих условию леммы, поскольку единственность этой совокупности следует из линейной независимости элементов множества при любом

Совокупность однородных (произвольных) алгебраических уравнений, связывающих элементы (90) над V, существование которых установлено в лемме 16, будем называть совокупностью однородных минимальных уравнений (минимальных уравнений) элементов (90) над

Легко убедиться, что левая часть каждого из минимальных уравнений, связывающих элементы (90) над V, является неприводимым многочленом от величин (90).

Действительно, в противном случае, если бы левая часть некоторого минимального уравнения была бы приводимым многочленом, то старший член этого многочлена не мог бы быть минимальным элементом множества старших членов всех алгебраических уравнений, связывающих элементы (90) над

Лемма 17. При любом подмножество множества (множества образует базис векторного пространства (векторного пространства

Доказательство. Элементы множества линейно независимы над У, а по лемме 15 каждый элемент множества (множества L) линейно зависит от элементов множества над У. Отсюда следует утверждение леммы.

Заметим, что совокупность минимальных уравнений для элементов (90) над V определяется при заданной нумерации этих элементов. При изменении их нумерации она может измениться.