§ 8. Е-функции, связанные алгебраическими уравнениями с постоянными коэффициентами

Теорема 7. Пусть совокупность Е-функций

составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (4) (линейных дифференциальных уравнений и имеет положительные и равные степени однородной трансцендентности (степени трансцендентности) как над так и над С. Далее,

— любой однородный (произвольный) многочлен такой, что

Тогда

Для доказательства теоремы необходима следующая лемма.

Лемма 12. Пусть неотрицательная неубывающая функция натурального аргумента растущая не быстрее некоторого многочлена от т. е. удовлетворяющая условиям:

при каких-либо положительных I и с.

Тогда при любом и любом для бесконечного множества значений выполняется неравенство

Доказательство. Допустим противное, что для некоторых неравенство (60) выполняется только для конечного множества значений утверждение леммы тривиально). Тогда существует натуральное число такое, что для всех

или

Применяя это неравенство раз и пользуясь первым из условий (59), получим неравенство

которое показывает, что функция растет не медленнее некоторой показательной функции с основанием, большим единицы, а это противоречит второму из условий (59). Значит, сделанное предположение противоречиво и лемма доказана.

Доказательство теоремы 7. Обозначим I степень однородной трансцендентности совокупности функций (55) над С. При утверждение теоремы справедливо по первой основной теореме. Пусть теперь Предположим противное, что

Обозначим К — алгебраическое поле, к которому принадлежат коэффициенты степенных рядов по степеням z всех Е-функций (55), все коэффициенты многочлена и число

При каждом рассмотрим множество произведений степеней функций (55)

которое обозначим. Пустьи соответственно, обозначают размерности векторных пространств, порожденных элементами множества над По лемме 6 существуют положительные постоянные такие, что выполняются неравенства

и

(Заметим, что можно доказать равенство

Так как выполняется неравенство то начиная с некоторого функции множества будут линейно зависимы над полем С Будем рассматривать только такие значения и при каждом выберем из функций множества любой базис линейного пространства, порожденного этими функциями над С,

и обозначим входящие в него функции

перенумерованные по возрастанию порядка. Аналогично перенумеруем остальные элементы не вошедшие в базис (65), и обозначим

Каждая из функций (66) единственным образом представится в виде линейной комбинации функций базиса (65) с комплексными коэффициентами. По лемме 5 эти коэффициенты принадлежат Поэтому имеют место уравнения

При рассмотрим произведения

Перемножая в них на каждый член многочлена убеждаемся в том, что все эти произведения являются линейными формами с коэффициентами из К от некоторых из функций (65) и (66):

Докажем, что левые части уравнений (67) вместе с произведениями (68), как линейные формы от величин (65) и (66) с коэффициентами из поля К, линейно независимы.

Допустим противное. Тогда тождественно по переменным (65) и (66) выполняются равенства

где хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Поскольку уравнения (67) линейно независимы над К, то из равенств (69) следует, что хотя бы одно из чисел

отлично от нуля. Из уравнений (67) и равенства (69) имеем, что

Так как выполняется условие (57), то из равенства (70) следует уравнение

Но это уравнение противоречиво, так как функции линейно независимы над из чисел хотя бы одно отлично от нуля.

Полученное противоречие доказывает линейную независимость линейных форм (67) и (68).

Полагая в уравнениях (67) и линейных формах ввиду уравнения (61), получим — линейных однородных и, по доказанному, линейно независимых уравнений относительно чисел с коэффициентами из К. Поэтому, обозначая ранг этой совокупности чисел относительно поля К, будем иметь

Величина как функция от удовлетворяет неравенству (63). Поэтому к ней применима лемма 12, по которой при любом для бесконечного множества значений выполняется неравенство

По лемме 18 гл. 3 совокупность функций (62), составляющая множество является решением системы линейных однородных дифференциальных уравнений вида (4), в которой число заменено на число Следовательно, эта совокупность функций удовлетворяет всем условиям леммы 3, если в последней заменить на По этой лемме

Из неравенств (63), (64), (71), (72) и (73) получаем, что для бесконечного множества значений выполняются неравенстве

откуда следует, что

Но последние неравенства, ввиду произвольности числа невозможны. Полученное противоречие доказывает справедливость теоремы 7.

Из теоремы 7 получаем ряд следствий об арифметических свойствах значений совокупности Е-функций, связанных алгебраическими уравнениями с постоянными коэффициентами.

Теорема 8. Пусть совокупность Е-функций (55), составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (4) (линейных дифференциальных уравнений и имеет степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности), как над так и над равную а функции однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над Далее,

Тогда числа однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы), а в однородном случае при числа алгебраически независимы.

Метод, которым доказана теорема 7, а следовательно, и теорема 8, не пригоден для доказательства такого типа теорем об алгебраической независимости значений Е-функций (76), связанных произвольными алгебраическими уравнениями с коэффициентами из . В этом случае начало доказательства проходит аналогично с заменой поля С на поле При этом с помощью леммы 3 совокупность функций можно выбрать так, что в уравнениях (67) все будут функциями из Не имеющими полюсов, отличных от полюсов системы дифференциальных уравнений (4). Аналогично, из уравнений (67) и выражений (68) получим линейно независимых линейных форм от с коэффициентами из Но полагая в них нельзя утверждать, что полученные после этого линейные уравнения относительно с коэффициентами из К будут линейно независимы.

Из теоремы 7 непосредственно следует

Теорема 9. Пусть совокупность Е-функций (55), , составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (4) (линейных дифференциальных уравнений и имеет степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) как над так и над равную Далее,

Тогда: 1) если функции (55) линейно независимы (линейно независимы вместе с функцией над то

числа

линейно независимы (линейно независимы вместе с числом 1) над А, каждое из чисел (74) не равно нулю (трансцендентно), все нули (алгебраические -точки) всех функций (55), отличные от нуля и нулей трансцендентны;

2) если функции (55) не связаны однородным (произвольным) алгебраическим уравнением над степени то числа (74) не связаны однородным (произвольным) алгебраическим уравнением степени к с алгебраическими коэффициентами.

В теореме 9 содержится следующая ниже теорема и ее однородный аналог, формулировку которого опускаем.

Теорема 10. Пусть Е-функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

с коэффициентами из не удовлетворяет уравнению того же типа, порядка меньшего чем не является алгебраической функцией), степени трансцендентности множества функций над а С равны, а

Тогда числа линейно независимы над А, а все числа трансцендентны.

Естественной кажется гипотеза о том, что утверждение теоремы 10 справедливо и без предположения о равенстве степеней трансцендентности функций над

Простейшим примером применения теоремы 9 является совокупность функций Они составляют решение системы дифференциальных уравнений и связаны уравнением По теореме 9 при любом каждое из чисел трансцендентно.

Предположим, что совокупность КЕ-функций (55) удовлетворяет всем условиям теоремы 7. Рассмотрим векторное пространство порожденное элементами (62) множества Тогда Пусть Обозначим множество, получающееся из элементов множества после подстановки в них и рассмотрим векторное пространство порожденное элементами множества над полем А.

Обозначим Из теоремы 7, очевидно, следует, что при любом Более того любой базис векторного пространства над составленный из произведений степеней (62), при подстановке в него переходит в базис векторного пространства

Аналогичные утверждения имеют место и при условиях первой основной теоремы, когда совокупность КЕ-функций (55) алгебраически независима над поскольку из утверждения теоремы следует, что множество произведений степеней (62) при однородно линейно независимо над А при любом

Если функции (55) являются IE-функциями, связанными алгебраическими уравнениями над то выполняется равенство где -размерность векторного пространства над Это следует из леммы 3. Но в этом случае нельзя утверждать, что выполняется соответствие между базисами линейных пространств и

В трех указанных выше случаях выполняются аналогичные утверждения о равенстве размерностей и соответствии между базисами векторных пространств, порожденных функциями (62) множества у которых показатели степеней удовлетворяют неравенствам и их значениями в точке

Очень трудной задачей является доказать или опровергнуть равенства где рлги размерности векторных пространств и над А, а также соответствующие утверждения о базисах векторных пространств в общем случае для любых КЕ-функций (55), имеющих произвольную степень трансцендентности над в точке быть может, за исключением конечного числа таких точек.

Следующий пример показывает, при каком условии можно ожидать выполнение неравенства

Пусть совокупность КЕ-функций (55) имеет степень однородной трансцендентности над равную и связана алгебраическим уравнением

где однородный неприводимый многочлен от переменных. Если и многочлен приводим над полем А, то Если же неприводим над А, то