§ 4. Вспомогательные предложения

Обобщим леммы 19 и 20, доказанные в § 13 гл. 3.

Лемма 9. Если любые различные многочлены из такие, что то функции линейно независимы над

Доказательство. При утверждение леммы тривиально. Предположим, что оно выполняется для некоторого и докажем, что оно справедливо и для Тогда по индукции лемма будет доказана для любого натурального

Допустим противное. Следовательно, существует равенство

из которого имеем, что

причем при

Если то, дифферещируя уравнение раз, получаем

Легко проверить, что Значит, а тогда по предположению индукции равенство (53) противоречиво и лемма доказана.

Лемма 10. Если

то функции

алгебраически независимы над тогда и только тогда, когда многочлены (54) линейно независимы над

Доказательство. Если многочлены (54) линейно зависимы над то

Тогда

откуда следует, что функции (55) алгебраически зависимы над

Пусть теперь многочлены (54) линейно независимы над Если

то этот многочлен можно представить в форме

где суммирование распространено на конечное число различных систем чисел из

По лемме 9

так как ввиду линейной независимости многочленов (54) все суммы соответствующие различным системам различны.

Из условия (56) следует, что функции (55) алгебраически независимы. Лемма доказана.

Лемма 11. У дифференциального уравнения

существует решение представимое в форме

где целая функция, тогда и только тогда, когда разложение функции на простейшие дроби имеет вид

где

При выполнении условия (59) функция имеет вид

Доказательство. Если выполняется разложение (59), то, интегрируя его и пользуясь дифференциальным уравнением (57), получим равенство (58), где целая функция имеет вид (60).

Обратно, если функция (58) удовлетворяет дифференциальному уравнению (57), то особыми точками функции являются нули и полюсы функции Все особые точки будут полюсами первого порядка с вычетами — числами из Следовательно, разложение (59) имеет место. Лемма доказана.

Лемма 12. Пусть совокупность функций (51), аналитических в некоторой области, составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (50),

а для системы (50) выполняется условие 1° теоремы 6.

Тогда функции

линейно независимы над

Доказательство. Допустим противное, что функции (62) линейно зависимы над а размерность векторного пространства порожденного функциями (62) над равна Тогда, ввиду условия (61), Меняя, если это необходимо, нумерацию функций (51), можно считать, что функции

составляют базис векторного пространства Поэтому функции линейно зависимы над и имеет место

уравнение

причем По условию Тогда из равенства (64) следует, что существует , такое, что .

Дифференцируя равенства (64) и пользуясь дифференциальными уравнениями (50), получим

Поскольку функции (62) образуют базис векторного пространства то отличные от нуля соответствующие коэффициенты линейных уравнений (64) и (65) пропорциональны. Поэтому, в частности, выполняется равенство

или

Равенство (66) противоречит условию 1° леммы. Полученное противоречие доказывает ее утверждение.