§ 3. Совокупность решений линейных дифференциальных уравнений первого порядка

В гл. 3 было показано, что из второй основной теоремы совсем просто следует теорема Линдемана об алгебраической независимости чисел при алгебраических линейно независимых над полем а также эквивалентное утверждение о линеинои независимости чисел над полем А при различных из А.

Относительно функций (17) при различных значениях Я и различных значениях аргумента z установлен следующий результат.

Теорема Пусть дробные рациональные числа такие, что разности и линейно независимы над различные и отличные от нуля числа из А

Тогда тесел алгебраически независимы.

Теорема Линдемана следует из этой теоремы при

Теорема Линдемана обобщена на случай любой трансцендентной Е-функции, удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению первого порядка с коэффициентами из

Теорема 5. [28:12]. Пусть Е-функция трансцендентна и является решением линейного дифференциального уравнения первого порядка (16), алгебраические числа, линейно независимые над такие, что

Тогда числа

алгебраически независимы. Если же ни одно из решений уравнения (16) не является рациональной функцией, то числа (49) алгебраически независимы при любых различных алгебраических таких, что

Непосредственные доказательства теорем 4 и 5 приведены не будут. Ниже будет доказана теорема 6, являющаяся наиболее общей теоремой об алгебраической независимости значений в алгебраических точках совокупности Е-функций, каждая из которых удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению первого порядка с коэффициентами из содержащая все известные результаты такого типа. Теоремы 1—5 являются следствиями этой теоремы.

Характеристическим многочленом дифференциального уравнения первого порядка (16) назовем многочлен

где многочлен есть неполное частное от деления многочлена на многочлен

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

Обозначим характеристический многочлен уравнения системы (50), множество значений таких, что уравнение системы (50) имеет решением рациональную функцию (быть может и решение

Теорема Салихов). Пусть совокупность трансцендентных Е-функций

составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (50), число а также выполняются следующие условия:

1°. При любых

2°. Множество характеристических многочленов линейно независимо над

Тогда числа алгебраически независимы.

Теорема 6 следует из второй основной теоремы гл. 3 и следующей теоремы об алгебраической независимости над совокупности функций (51).

Теорема Салихов). Пусть совокупность целых трансцендентных функций (51) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (50), для которых выполняются условия 1° и 2°, содержащиеся в формулировке теоремы 6.

Тогда совокупность функций (51) алгебраически независима над полем

Итак, для доказательства сформулированных выше теорем 4—

6 необходимо доказать теорему 7. Для этого предварительно установим несколько вспомогательных предложений.