§ 7. Е-функции, связанные уравнениями специального вида

Третья основная теорема и теоремы 1—5 устанавливают «в общем» трансцендентность и алгебраическую независимость значений в алгебраических точках рассматриваемых Е-функций, когда эти функции связаны алгебраическими уравнениями над Но в этих теоремах не указываются точно те исключительные алгебраические точки, в которых утверждения о трансцендентности или алгебраической независимости соответствующих значений не выполняются.

В число исключительных точек в этих теоремах входит число О, нули многочлена возможно, еще несколько алгебрадческих точек. Доказательство теоремы 2 и лемма 11 показывают, что такие точки определяются алгебраическими уравнениями, связывающими рассматриваемые функции над и указывают как можно пытаться их находить.

В дальнейшем будет показано, что в некоторых случаях, зависящих от структуры алгебраических уравнений, связывающих рассматриваемые функции над множество всех исключительных точек может быть определено, а иногда указано конечное множество алгебраических точек, содержащее все исключительные точки. Соответственно, будут установлены теоремы о трансцендентности и алгебраической независимости значений

Е-функций, связанных алгебраическими уравнениями над в алгебраических точках из указанных множеств.

В общем случае, предполагая известными основные алгебраические уравнения, связывающие рассматриваемые Е-функции над установить теоремы такого типа пока не удается, даже когда эти функции связаны только одним алгебраическим уравнением.

Рассмотрим простейший случай, когда рассматриваемые функции связаны алгебраическими уравнениями специального вида.

Теорема 6. Пусть совокупность Е-функций

составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (4) (линейных дифференциальных уравнений и имеет степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) над равную Функции однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над а функции (52) связаны алгебраическими уравнениями (50), где однородный (произвольный) многочлен от переменных с коэффициентами из старший член которого имеет вид

Далее,

Тогда числа

однородно алгебраически независимы (алгебраически зависимы), а в однородном случае при числа алгебраически независимы.

Доказательство. Допустим противное, что числа (54) однородно алгебраически зависимы (алгебраически зависимы). Рассмотрим каждый многочлен как многочлен от с коэффициентами из Положим в уравнениях Тогда, по лемме 11 хотя бы при одном в многочлене коэффициенты при всех степенях обратятся в нуль и, в частности, Но это противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы.

Доказательства однородного и неоднородного случаев теоремы 6 проводятся аналогично. Неоднородный случай является следствием однородного только тогда, когда в неоднородном случае все равны степеням соответствующих многочленов.

Если при условиях теоремы 6 Е-функции (52) связаны алгебраическими уравнениями (51), где однородный (произвольный) неприводимый и примитивный многочлен от переменных с коэффициентами из содержащий и

старшие коэффициенты всех многочленов в уравнениях (51) имеют вид (53), то по лемме 5 можно считать, что и поэтому уравнения (51) представляют собой частный случай уравнений (50).

Заметим, что при условиях теоремы 6 среди точек удовлетворяющих условию могут оказаться и такие, что числа (54) будут алгебраически независимы.