Глава 5. ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ЗНАЧЕНИЙ Е-ФУНКЦИЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

§ 1. Гипергеометрические Е-функции

В гл. 3 и 4 были установлены общие теоремы о трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций в алгебраических точках. Некоторые из них были применены к простейшим конкретным Е-функциям. В рассмотренных там случаях не требовалось доказывать, что исследуемые функции являются Е-функциями. Эти утверждения были очевидными следствиями из определения Е-функции. При применении общих теорем гл. 3 и 4 к более сложным Е-функциям необходимо доказывать, что они являются Е-функциями, удовлетворяющими линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из

До сих пор структура класса всех Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из не изучена. Эта проблема, по-видимому, является очень трудной. Можно указать только достаточно широкий подкласс класса который, быть может, совпадает со всем классом Опишем этот подкласс Е-функций, включающий многие функции, применяемые в различных разделах математики и ее приложениях.

Пусть Положим

Если то определим функцию

Функции вида (1) называют обобщенными гипергеометрическими функциями, или, короче, гипергеометрическими функциями.

Лемма 1. Функция (1) является решением линейного дифференциального уравнения порядка

Доказательство. Обозначим Имеем

Поэтому, применяя дифференциальный оператор к функции (1), получим

Из равенств (3) и (4) получаем дифференциальное уравнение

из которого следует дифференциальное уравнение (2).

Дифференциальное уравнение (2) имеет в конечной плоскости единственную особую точку

Если хотя бы одно из чисел равно 1, то правая часть уравнения (2) обращается в нуль и поэтому функция (1) является решением линейного однородного дифференциального Уравнения.

Если же то, заменяя на положив по доказанному получим, что функция (1) удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению вида (2), но порядка

Заметим также, что если все то в уравнении (2)

Обозначим

Тогда гипергеометрическая функция (1) примет вид

Лемма 2. Если

то существует постоянная такая, что коэффициенты функции (7) удовлетворяют следующим условиям:

2°. Существует последовательность такая, что

Доказательство. Из равенства (6) имеем

Рассмотрим отношение

Пусть Тогда при

Пользуясь формулой Тейлора для функции и известным равенством

получим

Далее,

Из равенств (11) и (12) следует, что существует постоянная такая, что выполняется оценка (8).

Докажем теперь, что выполнено условие 2°. Так как то, ввиду равенства (10), достаточно доказать, что общий наименьший знаменатель чисел

имеет величину при для любых и

Положим и обозначим

Пусть любой простой делитель числа Тогда Если то, когда х пробегает I последовательных целых чисел, пробегает полную систему вычетов по модулю Поэтому если х пробегает последовательных целых чисел, то одно и только одно из соответствующих целых чисел делится на при каждом Отсюда следует, что из к множителей

входящих в по крайней мере и не более чем делятся на Если же то ни один из этих множителей не делится на

Допустим, что делится на но не делится на Тогда

Отсюда имеем, что

причем

Оценим теперь степень числа на которую делится числитель

Если то, рассуждая, как и выше, получим оценки, аналогичные оценкам (14), из которых убеждаемся, что

Последнее будет верно и для простых делителей числа так как в входит множитель

Проведя сокращение в числителе и знаменателе дроби обозначим показатель, с которым простое число входит в разложение на простые множители точного знаменателя дроби Тогда из оценок (14) и (15) находим, что

Поэтому для общего наименьшего знаменателя дробей отличающихся от множителем выполняется оценка

где число простых чисел не превосходящих Пользуясь простейшей оценкой

получаем Отсюда ввиду равенства (10) имеем оценку (9) с некоторой постоянной с. Выбирая в установленных неравенствах (8) и (9) в качестве постоянной с наибольшую, получим утверждение леммы 2.

Так как при любом то из лемм 1 и 2 имеем следующее утверждение.

Лемма 3. Любая гипергеометрическая функция (1) с рациональными значениями параметров и принадлежит классу т. е. является Е-функцией, удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами из (и даже из ).

Функции (1) с рациональными значениями параметров а и будем называть гипергеометрическими Е-функциями.

Из лемм 1—3, леммы 9 гл. 4 и свойств Е-функций, изложенных в § 1 гл. 3, получаем следующее утверждение: любой многочлен с алгебраическими коэффициентами от z и конечного числа гипергеометрических Е-функций, а также функций, получающихся из последних заменой z на при А, является Е-функцией из класса

В 1949 г. К. Зигель [73:4] поставил проблему: представляется ли произвольная Е-функция из класса Е в виде подобного

многочлена? Эта проблема является очень трудной. До сих пор в направлении ее решения не получено никаких результатов.

Следующий пример показывает, что даже значительно упрощенная задача до сих пор не поддается решению.

Легко показать, что Е-функция, удовлетворяющая линейному однородному дифференциальному уравнению первого порядка с коэффициентами из является произведением многочлена с алгебраическими коэффициентами на функцию где Но какой вид может иметь Е-функция, удовлетворяющая линейному неоднородному дифференциальному уравнению того же типа, до сих пор не известно.

Вопрос о том, может ли гипергеометрическая функция (1) с алгебраическими параметрами а и быть Е-функцией, был предметом исследования. Оказалось, что за исключением мало интересного случая, функция (1) будет Е-функцией только при рациональных значениях всех ее параметров Сформулируем, не приводя доказательства, окончательный результат.

Будем говорить, что две системы алгебраических чисел удовлетворяют условию если либо все числа либо существует такое разбиение всех тех из них, которые не являются рациональными, на пары при что все разности

В 1978 г. А. И. Галочкин [3:11] доказал: Для того чтобы гипергеометрическая функция (1) с комплексными параметрами отличными от чисел и такими, что при была Е-функцией, необходимо и достаточно, чтобы числа и чтобы системы чисел удовлетворяли условию

Из этого результата следует, что при гипергеометрическая функция (1) является Е-функцией тогда и только тогда, когда

Гипергеометрические функции с иррациональными алгебраическими параметрами не являются Е-функциями (за исключением указанного выше случая) ввиду того, что общее наименьшее кратное знаменателей первых коэффициентов их степенных рядов растет значительно быстрее, чем у Е-функций.