§ 12. Доказательство первой основной теоремы

Для доказательства первой основной теоремы надо показать, что никакой однородный многочлен

не обращается в нуль при подстановке в него т. е. надо решать задачу, не являющуюся линейной относительно функций Но все основные леммы рассматриваемого метода линейны относительно этих функций. Оказывается, что нелинейная задача легко сводится к линейной с помощью нижеследующей леммы, в которой показывается, что если рассмотреть вместо функций совокупность всех их произведений степеней с суммой показателей, равной то эта совокупность функций составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений с коэффициентами из и поэтому к ней применим изложенный выше метод.

Лемма 18. Пусть совокупность аналитических функций составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (7).

Тогда множество произведений степеней этих функций

при любом составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений вида (7), в которой число заменено на а коэффициенты являются линейными комбинациями с коэффициентами из коэффициентов исходной системы дифференциальных уравнений (7), и, следовательно, не имеют полюсов, отличных от полюсов системы (7).

Доказательство. Дифференцируя функции (156), будем иметь

Если в правых частях этих уравнений заменить производные на правые части соответствующих дифференциальных уравнений (7), положив в них то получим утверждение леммы.

Лемма 18 останется справедливой и в случае, если рассматривается совокупность функций составляющая решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений (8) и множество произведений степеней этих функций

Следствие. Если в лемме 18 дополнительно предположить, что функции являются КЕ-функциями, удовлетворяющими условиям первой основной теоремы, то по лемме 3 множество произведений степеней (156) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений вида (7), в которой все Для этой системы многочлен совпадает с соответствующим многочленом для исходной системы (7) и

Теперь перейдем к доказательству первой основной теоремы. Пусть любое число из Допустим противное, что при условиях теоремы числа однородно алгебраически зависимы. Тогда существует однородный многочлен (155) такой, что

Будем считать, что алгебраическое поле К таково, что ему принадлежат коэффициенты степенных рядов всех КЕ-функций (9), число и все коэффициенты многочлена По лемме 18 и следствию из нее в К содержатся коэффициенты всех многочленов из системы дифференциальных уравнений, которой удовлетворяет множество произведений степеней (156) при любом

Рассмотрим выражений

Каждое из них есть линейная форма от переменных (156) с коэффициентами из К. Эти линейные формы линейно независимы, так

как если упорядочить произведения степеней (156) в порядке лексикографического расположения по степеням то старшие члены форм (158) будут различны.

Положим в выражениях Ввиду уравнения (157) получим линейно независимых линейных однородных уравнений между числами

с коэффициентами из К.

С другой стороны, по условиям первой основной теоремы функции (9) однородно алгебраически независимы над значит, при любом функции (156) линейно независимы над Поэтому по лемме 18 и следствию из нее функции (156) удовлетворяют всем условиям леммы 17, если в ней заменить число числом Так как не является особой точкой системы дифференциальных уравнений (7), то по лемме не является особой точкой системы дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют функции (156). Поэтому по лемме 17 ранг совокупности чисел (159) над полем К не меньше, чем где Отсюда следует, что выполняется неравенство

Но оценки

показывают, что неравенство (160) при достаточно большом противоречиво. Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения первой основной теоремы.

Из доказываемой ниже леммы следует, что условие первой основной теоремы об однородной алгебраической независимости КЕ-функций (9) над является не только достаточным, но и необходимым для выполнения ее утверждения.

Лемма 19. Пусть совокупность функций аналитических в некоторой области, содержащей точку коэффициенты степенных рядов которых по степеням z принадлежат алгебраическому полю К, однородно алгебраически зависима (алгебраически зависима) над а

Тогда числа однородно алгебраически зависимы (алгебраически зависимы) над К.

Доказательство. Рассмотрим однородный случай. Неоднородный случай рассматривается аналогично.

По условию существует однородный по переменным многочлен

такой, что

По лемме 2 можно считать, что

Предположим, что неприводимый многочлен. Тогда уравнение (161) можно представить следующим образом:

где суммирование производится по некоторому множеству систем в которых а все многочлены совокупности взаимно просты.

Положим в уравнении Тогда оно перейдет в нетривиальное алгебраическое уравнение между числами с коэффициентами из К, так как хотя бы одно из чисел ввиду того, что многочлены в совокупности взаимно просты. Это доказывает, что числа однородно алгебраически зависимы над К. Лемма доказана.