Замечания

Формулировки ряда теорем о трансцендентности и алгебраической независимости значений в алгебраических точках Е-функций, связанных алгебраическими уравнениями над были опубликованы в 1955—56 гг. в заметках [28: 3—5]. В 1960 г. в статье [28:11] соответствующие теоремы доказаны при условии, что рассматриваемые функции связаны одним алгебраическим уравнением над Заметим, что в последней работе доказательство теоремы 4 содержит ошибку. Это доказательства корректно только при числе функций

Доказательства основных результатов, содержащихся в главе 4, опубликованы в 1962 г. в статье [28:14].

Вспомогательные предложения § 1, позволившие распространить применение метода, изложенного в гл. 3, к совокупностям Е-функций алгебраически зависимым над » первоначально были доказаны в работе [28 :14]. Доказательства были сложными и при построении необходимых линейных уравнений, связывающих рассматриваемые функции, использовались свойства фундаментальной системы решений совокупности дифференциальных уравнений, которым удовлетворяли эти функции.

К. Малер в 1967 г. в статье [56:4] дал другое доказательство основного из этих предложений. Оно тоже сложно и использует свойства дифференциальных уравнений. Это доказательство содержится и в книге К. Малера [56:7].

Доказательства лемм, приведенных в § 1, являются простыми и не используют свойств фундаментальной системы решений дифференциальных уравнений. Они опубликованы в 1983 г. в статье [28:37].

Леммы о размерностях векторных пространств, порожденных произведениями степеней некоторых элементов над полем У, содержащиеся в § 3, 10, 11, следуют из результатов работы Д. Гильберта [46:3], опубликованной в 1890 г. Приведенные в книге доказательства взяты из работы В. А. Олейникова 1962 г. [20:2].

В той же работе рассматриваются и минимальные уравнения.

Заметим, что минимальные уравнения в неоднородном случае представляют (собой базис идеала в кольце многочленов состоящего из всех многочленов таких, что В однородном случае минимальные уравнения образуют базис однородного идеала.

Неоднородный случай теоремы 14 установлен в 1973 г. в статье В. Г. Чирского [27:1].

В связи с оценками размерностей векторных пространств которые рассматривались в § 3 и 11, отметим работу Ю. В. Нестеренко [16:7], опубликованную в 1984 г.

Теорема 11 опубликована в статье [28:38].