§ 8. Вспомогательные предложения о решениях систем линейных однородных уравнений

Лемма 11. (К. Зигель). Пусть линейные формы

удовлетворяют условиям

Тогда существует нетривиальное решение системы уравнений

такое, что

Доказательство. Применим принцип Дирихле. Пусть Подставляя во все формы (96) вместо каждого из неизвестных независимо значений 0, ±1, ±2±, ... ..., ±Н, получим точек с координатами в р-мерном пространстве Условия (97) позволяют утверждать, что все эти точки лежат в гиперкубе

В этом гиперкубе имеется ровно точек с координатами из Если выбрать так, чтобы выполнялось неравенство

то число рассматриваемых целочисленных точек будет больше числа всех целочисленных точек в гиперкубе (100). Поэтому найдутся два из рассматриваемых наборов

9 которым соответствует одна точка Если обозначить

то набор будет решением системы (98), удовлетворяющим условиям

Выберем теперь равным четному числу в интервале длины два

Тогда неравенства (101) выполняются, так как ввиду 2 и неравенства (103) имеем

Пользуясь неравенствами (102) и (103), получаем

Это показывает, что выполняются условия (99). Лемма доказана.

Базисом алгебраического поля называют базис кольца целых чисел этого поля, т. е. совокупность целых линейно независимых над чисел этого поля таких, что каждое единственным образом представляется в форме Дискриминантом поля К называют величину

где — числа сопряженные, соответственно с

Лемма 12. Пусть

— базис алгебраического поля любое число из и выполняется равенство (104).

Тогда

где постоянная у зависит только от выбора базиса (105).

Доказательство. По определению базиса любое число а из единственным образом представляется в виде (104). Пусть числа, сопряженные с — числа, сопряженные с элементами базиса (105) в поле К. В сопряженных полях выполняются равенства

Рассмотрим равенства (107) как систему из линейных уравнений относительно величин Определитель этой

стемы равен где дискриминант поля К. Если наибольший из модулей всех миноров порядка в определителе системы (107), то, решая эту систему, получим неравенство

где зависит только от выбора базиса (105). Лемма доказана.

Лемма Зигель). Пусть линейные формы (96) удовлетворяют условиям

Тогда существует нетривиальное решение системы уравнений (98) такое, что

где постоянная с зависит только от поля К.

Доказательство. Пусть (105) есть базис поля К. Тогда каждое единственным образом представляется в виде (104), где по лемме 12 числа удовлетворяют неравенствам (106) с постоянной у, зависящей только от выбора базиса (105).

Положим

и подставим в уравнения системы (98) вместо правые части соответствующих равенств (110). Получим

Теперь представим произведений как линейные комбинации элементов базиса (105) с коэффициентами из и подставим эти представления в уравнения системы (111). Тогда ввиду линейной независимости элементов базиса над эта система распадается на линейных однородных уравнений с коэффициентами из относительно неизвестных чисел так как в уравнениях (111) коэффициенты при сол должны равняться нулю.

Ввиду неравенств (106) и (108) коэффициенты этих линейных уравнений по абсолютной величине меньше чем следовательно, меньше чем где 41 — положительная постоянная, зависящая только от выбора базиса (105).

Применяя к полученной системе линейных однородных уравнений с коэффициентами из от неизвестных лемму 11, найдем ее решение в числах из таких, что

Пользуясь равенствами (110), из неравенств (112) получаем, что

где с, очевидно, зависит только от поля К.