§ 12. Алгебраическая независимость значений IE-функций

Пусть

— совокупность функций аналитических в некоторой области. Предположим, что эти функции однородно алгебраически зависимы (алгебраически зависимы) над Положим Тогда к функциям (103) применимы все рассуждения, проведенные в § 10 и 11, и для них выполняются все доказанные там утверждения.

В этом случае совокупность однородных минимальных уравнений (минимальных уравнений) для со старшими членами (93) будем называть совокупностью однородных (произвольных) минимальных уравнений для функций (103) над и условимся считать их левые части записанными в таком виде, что они являются примитивными многочленами из а по доказанному и неприводимыми.

Обозначим буквой множество нулей старших коэффициентов всех минимальных уравнений функций (103) над

Если все функции (103) аналитичны в точке и все коэффициенты степенных рядов по степеням z всех этих функций принадлежат алгебраическому полю К, то, пользуясь леммами 5, 16 и 17, можно считать, что все минимальные уравнения этих функций принадлежат а тогда

Рассмотрим множество произведений степеней функций

и множество произведений степеней тех же функций

Пусть обозначают размерности соответствующих векторных пространств и подмножества множества и множества рассмотренные в § 10.

При любом обозначим функции множества

занумерованные по возрастанию их порядка, а при где определено равенством (97), обозначим функции множества

занумерованные аналогичным образом.

Лемма 19. Пусть совокупность функций (103) аналитических в некоторой области составляет решение системы линейные однородных дифференциальных уравнений (4) (линейных дифференциальных уравнений и однородно алгебраически зависима (алгебраически зависима)

Тогда совокупность функций (106) при любом составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений

которая не имеет особых точек, отличных от особых точек системы дифференциальных уравнений (4) (системы и точек множества .

Доказательство. По лемме 17 при любом функции (106) образуют базис векторного пространства (пространства порожденного элементами множества (множества над а по лемме 15 при функции (107) единственным образом представляются в виде

Из доказательства леммы 15 следует, что правые части равенств (109) получаются из их левых частей с помощью ряда замен некоторых произведений степеней функций (103) на линейные комбинации элементов множества (множества коэффициенты которых являются коэффициентами минимальных уравнений (95). Поэтому функции не могут иметь полюсов отличных от точек множества .

По лемме 18 гл. 3 совокупность функций множества (множества составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений вида (4), в которой число заменено на число Отсюда при следует утверждение леммы, так как При оставим в указанной системе дифференциальных уравнений только те уравнения, левые части которых являются производными функций (106), и подставим в их правые части, вместо имеющихся в них функций (107), правые части соответствующих равенств (109). В результате получим систему линейных однородных дифференциальных уравнений (108), коэффициенты которых удовлетворяют условиям, указанным в лемме.

Теорема 14. Пусть совокупность -функций (103) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (4) (дифференциальных уравнений (11)), степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) множества этих функций над равна функции

однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) Далее,

— множество старших членов совокупности однородных (произвольных) минимальных уравнений функций (103) над

Тогда числа

однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы), а при в однородном случае числа

алгебраически независимы.

Доказательство. Достаточно доказать теорему в однородном случае. Пусть и удовлетворяет условию теоремы. Рассмотрим при любом множество и его подмножества определенные однородными минимальными уравнениями со старшими членами (111). По лемме 19 функции (106) множества составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (108), для которой не является особой точкой. По лемме 17 эти функции линейно независимы над Поэтому по лемме 3 при любом числа линейно независимы над

Функции (110) однородно алгебраически независимы над Отсюда следует, что каждый из старших членов минимальных уравнений (111) и, следовательно, любой элемент множества при любом содержит хотя бы одну из функций Значит, совокупность всех произведений степеней

при любом входит в множество по доказанному, при любом числа

линейно независимы над I, а тогда числа (112) по лемме 1 гл. 3 однородно алгебраически независимы.

В теореме 14 указывается множество алгебраических точек в которых значения функций (110) алгебраически независимы. Но при этом остается открытым вопрос о том, являются ли все или некоторые из точек множества действительно исключительными точками.

Представляет большой интерес обобщить теорему 14 на случай совокупности КЕ-функций и точек либо опровергнуть возможность такого обобщения. Но эта проблема является, по-видимому, очень трудной.

Пока, используя минимальные уравнения, можно доказать только рассматриваемую в § 13 теорему 15.