§ 13. Алгебраическая независимость значений КЕ-функций

Теорема 15. Пусть совокупность Е-функций

составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (4) (дифференциальных уравнений Степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) множества этих функций над равна , а функции (110) однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над Далее, пусть

— множество старших членов совокупности однородных (произвольных) минимальных уравнений функций (113) над

Тогда числа

однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы), а в однородном случае при числа

алгебраически независимы.

Доказательство. Пока рассмотрим однородный случай. Пусть и удовлетворяет условию теоремы. Допустим противное, что

Обозначим К — алгебраическое поле, к которому принадлежат коэффициенты степенных рядов по степеням z всех Е-функций все коэффициенты многочлена и число

Рассмотрим при любом множество и его подмножество определенное однородными минимальными уравнениями со старшими членами (114). Пусть ранг множества над По лемме 17 при любом подмножество образует базис векторного пространства порожденного элементами множества над Поэтому число элементов множества равно По теореме 13 при

Пусть при любом функции (106) обозначают элементы множества занумерованные по возрастанию их порядка. Оценим ранг множества чисел над полем Для этого рассмотрим значения элементов множества в точке и уравнения

По определению множества и условию теоремы элемент

принадлежит множеству если при каждом значении среди его показателей найдется показатель удовлетворяющий неравенству

Все элементы удовлетворяют условию (119). Поэтому условию (119) удовлетворяют и все произведения вида

Следовательно, эти произведения являются элементами множества Значит, левые части уравнений (118) представляют собой линейные формы от элементов множества с коэффициентами из К:

где числа либо коэффициенты многочлена либо нули.

Линейные уравнения между числами с коэффициентами из К (120) линейно независимы. Это следует из того, что

их старшие по порядку члены различны, как они получаются после умножения на старший член и поэтому имеют различные порядки. Значит, элементы множества связаны по крайней мере линейно независимыми линейными уравнениями с коэффициентами из К. Отсюда и из равенства (117) следует, что

С другой стороны, по лемме 18 функции (106) составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (108), для которой точка не является особой точкой. Так как эти функции линейно независимы над то по лемме 3 и равенству (117) при выполняется неравенство

Оценки (121) и (122) при достаточно большом противоречивы. Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы.

Неоднородный случай теоремы следует из однородного только в том случае, когда степени по всех старших членов минимальных уравнений (114) равны степеням соответствующих минимальных уравнений. В общей ситуации в неоднородном случае доказательство проходит аналогично как и в неоднородном случае. Надо только рассматривать вместо множество и неоднородные минимальные уравнения.

Наибольший интерес в теореме 15 представляет случай, когда Тогда числа алгебраически независимы.

Заметим, что при условиях теорем 14 и 15 и соответствующих теорем гл. 11 и 12, если функции фиксированы, то, меняя нумерацию функций можно получить различных совокупностей минимальных уравнений. При этом, вообще говоря, могут меняться точки, в которых утверждается алгебраическая независимость значений рассматриваемых функций.

Теорема 12 есть частный случай теоремы 15,

Элементы произвольного множества можно упорядочить различными способами. Естественным является следующий. Старшими по порядку считаются произведения большей степени по а в каждой группе однородных произведений степеней упорядочение проводится в порядке лексикографического расположения по степеням

Если множество состоит из произведений только одной степени, то указанный порядок совпадает с рассматриваемым раньше. Если же содержит произведения разных степеней, то его старший член при новом способе упорядочения может, вообще говоря, отличаться от старшего члена при старом упорядочении.

При новом упорядочении аналогично вводятся минимальные уравнения и устанавливаются их свойства, аналогичные свойствам, доказанным в § 10. Аналогично формулируются и доказываются теоремы 6, 12, 14 и 15. Заметим, что при этом множество точек А, в которых доказывается алгебраическая независимость значений рассматриваемых функций, может измениться.

Заметим также, что теоремы 6—9, 11, 12, 14 и 15 могут быть переформулированы на случай Е-функции, удовлетворяющей линейному однородному дифференциальному уравнению (38) (линейному дифференциальному уравнению (39)) и ряда ее последовательных производных.