§ 5. Доказательство теоремы Зигеля

Для доказательства леммы 1 воспользуемся теоремой 1. Но применить ее непосредственно к решениям совокупности дифференциальных уравнений (2) нельзя, так как для последней не выполняется условие 1° теоремы 1. Функция связана с функцией Бесселя равенством Функция есть решение дифференциального уравнения

Бесселя

а функция соответствующего из дифференциальных уравнений

Для дифференциальных уравнений (43) условие 1° теоремы 1 выполняется. Поэтому докажем для решений этих уравнений следующую лемму, аналогичную лемме 1, установленную К. Зигелем [73 :3].

Лемма 6. Пусть числа числа, любое нетривиальное решение соответствующего из дифференциальных уравнений (43).

Тогда функции алгебраически независимы над

Так как где нетривиальное решение соответствующего из дифференциальных уравнений (2), то, пользуясь леммой 8 гл. 5, получаем, что лемма 1 следует из леммы 6. Поэтому для доказательства теоремы Зигеля достаточно доказать лемму 6. Но сначала установим еще одно вспомогательное предложение.

Лемма 7. Пусть нетривиальные решения дифференциальных уравнений

Тогда, если

то

Доказательство. Дифференцируя равенство (45) и пользуясь тем, что функция есть решение второго из дифференциальных уравнений (44), получим, что функция также представляется в виде линейной комбинации функций аналогичной (45). Поэтому существуют многочлены

такие, что выполняется матричное равенство

в котором можно считать, что ( многочлен не имеет кратных корней, а старшие коэффициенты многочленов равны 1.

Аналитические функции не имеют точек ветвления при Поэтому функция со может иметь точки ветвления только при Следовательно, где или

Дифференцируя равенство (46) и пользуясь тем, что

где

а матрица отличается от только заменой а на и на получим равенство

Теперь, сравнивая равенства (46) и (47) и пользуясь тем, что по лемме 3 гл. 6 функции линейно независимы над находим, что выполняется равенство

Из равенства (48) и условия следует, что многочлен делится на многочлен В. Но это возможно, только если Поэтому равенство (48) можно переписать в следующем виде:

или

Пусть и

Сравнивая в обеих частях равенства (50) коэффициенты при получим

Если то из равенств (51) следует, что Но последнее невозможно. Значит,

Сравнивая в равенствах (50) коэффициенты при находим

Предположим, что Складывая первое и четвертое равенства (52) и пользуясь установленными выше равенствами получаем, что Если теперь из второго равенства (52), умноженного на вычесть третье равенство, то замечая, что находим

Поскольку среди чисел должно быть отличное от нуля, то, следовательно, значит,

Из равенства (49) следует, что если представление функции и соответствующее представление ее производной, как линейной комбинации функций

подставить в первое из уравнений (44), то полученное равенство будет выполняться тождественно по Поэтому если любое решение второго из дифференциальных уравнений (44), а функция определена равенством

то есть решение первого из дифференциальных уравнений (44).

Положим

где - функция Бесселя. Подставляя в правую часть равенства (53) вместо соответствующие степенные ряды, получим, что

Подставим теперь разложение функции в первое из дифференциальных уравнений (44). Сравнивая затем в этом дифференциальном уравнении коэффициенты при членах с будем иметь

откуда, поскольку находим, что или Лемма доказана.

Доказательство леммы 6. Так как то из леммы 3 гл. 6 и леммы 8 гл. 5 следует, что при условии леммы 6 каждые две функции и алгебраически независимы. Поэтому лемма 6 следует из теоремы 1 и леммы 7.

Доказательство леммы 6, а вместе с ней и леммы 1 завершает доказательство теоремы Зигеля.