§ 3. Методы, возникшие при решении седьмой проблемы Гильберта, и их дальнейшее развитие

В своем докладе «Математические проблемы», прочитанном на II Международном математическом конгрессе 8 августа 1900 г., Д. Гильберт высказал 23 проблемы, «исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки».

В седьмой из этих проблем высказывалось утверждение о трансцендентности чисел вида где а — алгебраическое число, а алгебраическое иррациональное число. В частности, указываются числа

Это утверждение является обобщением упомянутого выше предположения Эйлера о трансцендентности чисел вида Гильберт заменил в проблеме Эйлера рациональность чисел а и на их алгебраичность и придал ей несколько иную, но эквивалентную форму.

Первый шаг в направлении решения седьмой проблемы Гильберта был сделан только в 1929 г. Гельфондом Он разработал новых! аналитический метод, построенный на интерполяционной идее, который позволил ему доказать утверждение Гильберта в одном частном случае, когда показатель есть мнимая квадратичная иррациональность. Из теоремы Гельфонда следовала трансцендентность числа

В 1930 г. Р. О. Кузьмин [9: 1] распространил метод Гельфонда и на случай, когда является действительной квадратичной иррациональностью. Тем самым он доказал трансцендентность числа .

Первым методом Гельфонда различными авторами получен ряд других результатов об арифметических свойствах чисел.

В 1934 г. А. О. Гельфонд [5: 3,4] развил новый аналитический метод доказательства трансцендентности чисел, с помощью которого дал полное решение седьмой проблемы Гильберта.

В том же году Т. Шнейдер [70: 1] независимо получил доказательство седьмой проблемы другим методом.

Т. Шнейдер в 1934—41 гг. [70: 2—5] установил ряд глубоких теорем о трансцендентности чисел, связанных с эллиптическими функциями, модулярными функциями и абелевыми интегралами.

Методом Гельфонда 1934 г. было получено много других результатов.

В 1949 г. А. О. Гельфонд [5: 7] существенно обобщил свой второй метод и, пользуясь этим новым методом, установил ряд теорем об алгебраической независимости чисел. В одной из них он доказал, что если -алгебраическое число, а алгебраическое число третьей степени, то числа алгебраически независимы.

Задачи об алгебраической независимости алгебраических степеней алгебраических чисел являются очень трудными. Теорему Линдемана до сих пор не удается распространить на случай значений показательной функции с алгебраическим основанием.

Пусть а — алгебраическое число, алгебраическое число степени Рассмотрим числа

Гельфонд высказал предположение, что числа (2) долоюны быть алгебраически независимы. В 1949 г. [5: 7] он доказал, что среди них содержатся два алгебраически независимых числа. Впоследствии появился ряд работ, в которых методом Гельфонда доказывается, что среди чисел (2), начиная с некоторого заданного содержится три и четыре алгебраически независимых. Так, например, А. А. Шмелев в 1972 г. [29: 2] доказал, что при 19 таких чисел будет три, а Вальдшмидт в 1974 г. показал, что при найдется четыре таких числа.

В 1982 г. Нестеренко [16: 6—8] обобщил метод Гельфонда и показал, что среди степеней (2) найдется по крайней мере алгебраически независимых чисел. Это был первый результат, в котором утверждается, что количество алгебраически независимых среди чисел (2) растет вместе с

Метод, развитый Нестеренко, позволил существенно улучшить последний результат. П. Филиппон [62: 2] и Ю. В. Нестеренко [16:9,10] доказали, что среди степеней (2) содержится не меньше чем алгебраически независимых чисел. Причем Нестеренко получил и количественный аналог этого утверждения.

Третий метод Гельфонда также был использован многими математиками для получения новых результатов.

Методы Эрмита — Линдемана и Гельфонда позволяют получать и количественные характеристики арифметических свойств чисел в виде оценок линейных форм или многочленов с целыми коэффициентами от рассматриваемых чисел. Методами Гельфонда, как им самим, так и другими авторами, был установлен ряд таких оценок.

Вернемся к задаче о приближении алгебраических чисел. В теореме Лиувилля постоянная с является эффективной, т. е. может быть вычислена для заданного числа а. В отличив

от теоремы Лиувилля, ее обобщение — теорема Туэ и другие теоремы такого типа, полученные методом Туэ, - не являются эффективными. Метод Туэ не давал возможности вычислять постоянные, входящие в установленные неравенства. Это обстоятельство является и причиной того, что теорема Туэ о диофантовом уравнении также не эффективна. Она устанавливает только конечность числа решений х и у уравнения (1), но не указывает границ для чисел х и у, являющихся его решениями Попытки эффективизировать метод Туэ в течение многих лет не приводили к успеху.

Было замечено, что проблема эффективизации метода Туэ связана с задачей о получении эффективных оценок снизу для линейных форм с целыми коэффициентами от логарифмов нескольких алгебраических чисел (см. работу А. О. Гельфонда [5: 8]). В 1966 г. А. Бейкеру [32:1] удалось существенно усилить метод Гельфонда 1934 г. и установить эффективные оценки линейных форм от логарифмов алгебраических чисел. Это позволило ему доказать теоремы об эффективном усилении теоремы Лиувилля и эффективизации теоремы Туэ о диофантовом уравнении, а также получить ряд других результатов в теории чисел (см. [32: 2—4, 6]).

Некоторые авторы, пользуясь работами Бейкера, уточняли и обобщали его исследования. Из этих работ следует отметить теоремы Н. И. Фельдмана [24: 5, 6] об обобщении оценки линейной формы от логарифмов, об эффективном степенном понижении оценки в теореме Лиувилля и эффективизации теоремы Туэ о диофантовом уравнении.

За последние годы как в СССР, так и в других странах заметно усилился интерес к проблематике теории трансцендентных чисел, связанной с методами, возникшими в результате решения седьмой проблемы Гильберта.

Результаты, связанные с методами Гельфонда и Шнейдера и их обобщениями, в книге не содержатся. С ними можно ознакомиться по монографиям А. О. Гельфонда [5: 8], Т. Шнейдера [70:6], К. Зигеля [73:4], В. Левека [53:1], С. Ленга [51:1], А. Бейкера [32: 5], М. Вальдшмидта [84: 1], П. Цийсова [39: 1], Н. И. Фельдмана [24:7,8], а также по собранию сочинений А. О. Гельфонда [5: 10]. Обзор результатов, полученных этимег методами до 1967 г., содержится в статье Н. И. Фельдмана и А. Б. Шидловского [25:1].