§ 13. Следствия из первой основной теоремы

Приведем некоторые следствия из первой основной теоремы. Пусть Е-фунщии и число удовлетворяют ее условиям. Тогда выполняются следующие утверждения.

1°. Все числа не равны нулю и, следовательно, все нули каждой из функций отличные от нулей многочлена трансцендентны.

2°. При каждом значении чисел алгебраически независимы.

3°. Среди чисел по крайней мере чисел трансцендентны.

4°. Ясли из чисел алгебраическое, остальные чисел алгебраически независимы.

5°. Если неприводимый многочлен является однородным степени

все нули функции отличные от нулей многочлена трансцендентны.

Пусть Е-функция удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению порядка

Обозначим

Тогда совокупность -функций (164) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка

Если функции (164) однородно алгебраически независимы над то к этой совокупности функций применима первая основная теорема, по которой выполняется следующее утверждение:

Теорема 1. Пусть - функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения (163) порядка и не удовлетворяет никакому однородному алгебраическому дифференциальному уравнению с коэффициентами из порядка меньшего, чем

Тогда числа однородно алгебраически независимы.

Из теоремы 1 получаются следствия, аналогичные следствиям из первой основной теоремы. Особо отметим случай, когда

Теорема 2. Пусть Е-функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

и не удовлетворяет никакому однородному алгебраическому дифференциальному уравнению с коэффициентами из первого порядка,

Тогда значение логарифмической производной трансцендентно, хотя бы одно из чисел трансцендентно и все нули функций отличные от нулей многочлена трансцендентны.

Простейшим примером применения теоремы 2 может служить Е-функция удовлетворяющая уравнению Если бы удовлетворяла однородному алгебраическому

дифференциальному уравнению первого порядка с коэффициентами из то функция была бы алгебраической. Но это невозможно, так как она имеет бесконечное множество нулей, а алгебраическая функция может иметь только конечное число нулей. Значит при любом число трансцендентно, и хотя бы одно из чисел трансцендентно. Но тогда ввиду равенства оба числа трансцендентны. Кроме того, число , как нуль функции трансцендентно.

Рассмотрим совокупность Е-функций составляющую решение системы линейных дифференциальных уравнений

которая может оказаться и однородной, если Добавим этим функциям функцию Тогда совокупность функций будет удовлетворять системе линейных однородных дифференциальных уравнений вида (7), в которой число заменено на число независимо от того, была ли система (167) неоднородной или однородной.

Замечая, что однородная алгебраическая независимость над функций равносильна алгебраической независимости над функций а однородная алгебраическая независимость чисел равносильна алгебраической независимости чисел применим к функциям первую основную теорему. Тогда по следствию 2° из этой теоремы получаем следующий результат.

Вторая основная теорема. Пусть совокупность Е-функций составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (167) и алгебраически независима над а

Тогда числа алгебраически независимы.

Приведем некоторые следствия из второй основной теоремы.

Пусть совокупность Е-фунщий и число К удовлетворяют всем условиям второй основной теоремы, Тогда выполняются следующие утверждения:

1°. Каждое из чисел трансцендентно.

2°. Все нули и алгебраические -точки всех функций отличные от нулей многочлена трансцендентны.

3°. неприводимый многочлен имеет степень к, к 1, по все нули и

гебраические -точки функции отличные от нулей многочлена трансцендентны.

Если Ефункция является решением линейного дифференциального уравнения порядка

то вводя обозначения (164), получим, что совокупность Е-функций (164) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений аналогичной системе (165), но у которой в правой части последнего уравнения содержится еще один член Поэтому, применяя к рассматриваемой совокупности функций вторую основную теорему, получим следующее утверждение:

Теорема 3. Пусть Е-функция является решением линейного дифференциального уравнения (168) порядка и не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению с коэффициентами из порядка меньше, чем не является алгебраической функцией), а

Тогда числа алгебраически независимы.

Из теоремы 3 получаем следствия, аналогичные следствиям из второй основной теоремы.

Особый интерес в теореме 3 представляет случай, когда Сформулируем соответствующий результат.

Теорема 4. Если трансцендентная Е-функция является решением линейного дифференциального уравнения первого порядка

то число трансцендентно.

Простейший пример применения этой теоремы дает показательная функция Она удовлетворяет уравнению Поэтому число трансцендентно при любом В частности, число трансцендентно, а также трансцендентно число

Покажем, что из второй основной теоремы совсем просто следует теорема Линдемана.

Лемма 20. Если любые различные числа из то функции линейно независимы над

Доказательство. При утверждение леммы тривиально. Предположим, что оно выполняется для и докажем, что оно справедливо и для Тогда по индукции лемма будет доказана при любом

Допустим противное, т. е. что имеет место уравнение

Тогда

Если то дифференцируя последнее уравнение раз, получим равенство, которое противоречит предположению индукции, так как все разности различны.

Лемма 21. Если числа и линейно независимы над то функции алгебраически независимы над

Доказательство. Допустим противное. Тогда существует многочлен

такой, что

Это уравнение можно представить в виде

где суммирование распространяется на некоторую совокупность различных систем в которых числа из По условию леммы показатели в правой части последнего равенства различны. Значит, это уравнение по лемме 20 противоречиво и лемма доказана.

Из леммы 21 и второй основной теоремы следует теорема Линдемана в одной из ее эквивалентных формулировок.

Особый интерес представляет случай, когда рассматривается совокупность IE-функций и их значения из поля Так как в частности, это могут быть -функции и их значения в рациональных точках. В этом случае первая и вторая основные теоремы, со всеми приведенными выше следствиями из них, непосредственно следуют из лемм 1, 17 и 18. Более того, все эти результаты являются следствиями более общей формулируемой ниже теоремы, являющейся очевидным следствием тех же лемм.

Теорема 5. Пусть совокупность IE-функций , составляет решение системы линейных однородных

дифференциальных уравнений (7) и не связана однородным алгебраическим уравнением с коэффициентами из степени

Тогда числа не связаны однородным алгебраическим уравнением с коэффициентами из I степени к. В частности, при числа линейно независимы над I и каждое из них не равно нулю.

Если функции однородно алгебраически независимы над то утверждение теоремы 5 имеет место при любом к. Значит, в этом случае числа однородно алгебраически независимы над I, а тогда по лемме 1 они однородно алгебраически независимы. Это показывает, что в случае IE-функций теорема 5 содержит соответствующий результат первой основной теоремы. Из теоремы 5 получаем следующий результат;

Теорема 6. Пусть совокупность -функций составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (167) и не связана алгебраическим уравнением с коэффициентами из степени к, к

Тогда числа не связаны алгебраическим уравнением с коэффициентами из I степени к. В частности, при числа вместе с 1 линейно независимы над I, а каждое из них не принадлежит I и, значит, иррационально.

Из теоремы 6 следует утверждение второй основной теоремы для IE-функций. Теоремы 5 и 6 легко переформулировать на случай IE-функции являющейся решением линейного дифференциального уравнения (163) или (168), и ряда ее последовательных производных. Приведем формулировку утверждения, соответствующего линейному случаю теоремы 6.

Теорема 7. Пусть IE-функция является решением линейного дифференциального уравнения порядка (168), и не удовлетворяет никакому линейному дифференциальному уравнению того же типа, порядка меньшего, чем (в случае не принадлежит а - любое число из

Тогда числа вместе с числом 1 линейно независимы над I, а поэтому каждое из них не принадлежит

I и, значит, иррационально.

Интересной проблемой является распространение утверждения теоремы 7 на случай произвольного алгебраического поля К. Если бы удалось установить этот результат, то трансцендентность каждого из чисел следовала бы из линейной независимости соответствующих функций и 1 над

Заметим, что применение общих теорем об алгебраической независимости значений Е-функцнй, установленных в гл. 3, к конкретным Е-функциям значительно проще, чем общей теоремы Зигеля [73: 4] и основной теоремы работ [28: 1, 9]. Проверка

условий последних теорем даже для простейших функций сложна. Доказательство алгебраической независимости над совокупности функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям, является более простой задачей. Имеется ряд методов, которые позволяют решать ее для некоторых классов функций, являющихся решениями линейных дифференциальных уравнений любых порядков.