Глава 2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗНАЧЕНИЙ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ В АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧКАХ

§ 1. Трансцендентность числа e

Теорема 1. Число иррационально.

Доказательство. Число является суммой ряда

Обозначим

Имеем

Объединяя неравенства (3) и (4), получаем

Из равенства (1), обозначений (2), (3) и неравенств (5) следует, что

Теперь допустим противное, что есть рациональное число: Полагая получим что противоречит условию (6). Теорема доказана.

Теорема 2. Число не является квадратичной иррациональностью.

Доказательство. Допустим противное, что

где не все числа и с равны нулю. По теореме и Будем считать, что Имеем

Число есть сумма ряда

Обозначим

и

Число есть сумма знакочередующегося ряда с монотонно убывающими членами. Поэтому

Из равенств (1), (7), (8) и обозначений (2), (3), (9), (10) имеем

Из условий (2) и (9) следует

Выберем число любым, удовлетворяющим неравенствам

Так как то из неравенств (5), (11) и (14) получаем, что

Но, ввиду условия (13) и неравенства (15), равенство (12) оказывается противоречивым. Теорема доказана.

Заметим, что доказательства теорем 1 и 2 основаны на том, что числа допускают приближения рациональными числами более высокого порядка, чем

Для доказательства трансцендентности числа надо показать, что не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами любой степени. Эту задачу не удается решить так же просто, как доказать теоремы 1 и 2. Для ее решения применим метод Эрмита.

Сначала установим два вспомогательных предложения. Лемма 1. Если то при любом все коэффициенты производной делятся на

Доказательство. Поскольку операция дифференцирования линейна, то достаточно доказать утверждение леммы для многочленов Но если если 1 к где Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть произвольный многочлен с действительными коэффициентами степени к,

Тогда выполняется равенство

где х принимает действительные или комплексные значения.

Доказательство. Интегрируя по частям, получаем равенство

Повторяя этот процесс последовательно раз, приходим к равенству

из которого следует равенство (17).

Равенство (17) называется тождеством Эрмита.

Теорема Эрмит). Число трансцендентно. Доказательство. Допустим противное, что есть алгебраическое число степени Тогда

Полагая в тождестве Эрмита

получим равенства

Умножим обе части каждого из равенств (20), соответственно, на а затем все их сложим. Воспользовавшись равенством (19), получим, что

Равенство (21) вьшолняется при любом многочлене с действительными коэффициентами. Положим в нем

где достаточно большое натуральное число, удовлетворяющее некоторым условиям, которые будут указаны позднее.

Покажем, что теперь левая часть равенства (21) будет отличным от нуля целым рациональным числом, а его правая часть по абсолютной величине меньше 1. Тогда это равенство будет противоречиво и теорема доказана.

Многочлен имеет число 0 корнем кратности а числа корнями кратностей Поэтому

По лемме 1 коэффициенты производной порядка I многочлена являются целыми числами, делящимися на Отсюда следует, что при имеет целые коэффициенты, делящиеся на Поэтому из равенств (16), (23) и (24) получаем, что

а из равенств (25) находим, что

Пусть теперь любое число, удовлетворяющее условиям

Из равенств (26) и (27) имеем, что все слагаемые в левой части равенства (21) являются целыми числами. При этом из условий

(19) и (28) и равенства (26) следует, что не делится на Но все остальные слагаемые делятся на и. Значит, левая часть равенства (21) есть отличное от нуля целое число, а тогда

Теперь оценим правую часть равенства (21). Каждый сомножитель входящий в многочлен (22), на отрезке не превосходит числа Поэтому

и

где постоянные и С не зависят от числа

Из равенства (21) и неравенств (29) и (30) получаем неравенство

которое противоречиво при достаточно большом так как его правая часть стремится к нулю при Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы.

Рассмотрим равенства (20). Из равенств (26) и (27) следует, что являются целыми числами. Оценивая правую часть равенства (20) аналогично тому, как была оценена правая часть равенства (21), получим, что она стремится к нулю при Значит, дроби

каждом являются совместными приближениями к степеням Это показывает, что приведенное доказательство трансцендентности числа основано на построении с помощью тождества Эрмита последовательности совместных приближений к степеням числа