§ 6. Вспомогательная теорема

Основная лемма, с помощью которой доказаны теоремы 1—4, не дает возможности устанавливать оценки мер в некоторых случаях, когда КЕ-функции

связаны алгебраическими уравнениями над других типов. Оказывается, что если основную лемму использовать вместе с теоремой 1 гл. 11, то можно получить оценки мер еще в некоторых случаях. Пользуясь основной леммой и теоремой 1 гл. 11,

докажем вспомогательную теорему, из которой получим несколько теорем об оценках мер.

Пусть — алгебраические поля, сопряженные с полем Вместе с функциями (53), как и в § 2 гл. 11, будем рассматривать сопряженные с ними функции относительно поля а для числа сопряженные с ним в поле числа Аналогично индексом будем отмечать функции, сопряженные относительно поля для некоторых других функций.

В дальнейшем

будет обозначать произвольный многочлен с коэффициентами из многочлены, получающиеся из после замены всех его коэффициентов на сопряженные числа из соответствующего поля

Обозначения будут иметь тот же смысл, что и в случае, когда рассматриваемый многочлен однороден.

Теорема 6. Пусть совокупность КЕ-функций (53), составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (2) (линейных дифференциальных уравнений и имеет степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) над равную а многочлен (многочлен и число таковы, ото выполняются условия

Тогда существуют постоянные (постоянные такие, что имеют место неравенства

а в неоднородном случае неравенства

и в частности, неравенство

а в неоднородном случае неравенство

Доказательство. Пусть сначала Начало доказательства проходит аналогично доказательству теоремы 7 гл. 4, но ввиду более общей ситуации усложняется переходом к сопряженным полям.

При каждом рассмотрим множество произведений степеней и порожденное его элементами линейное пространство над Если то по леммам 1 и 4 гл. 4, примененным к совокупности функций (4), существует базис пространства с числом элементов, равным

составленный из функций (4), обладающий следующими свойствами. Если

обозначают элементы не вошедшие в и связанные с функциями (58) уравнениями

то ни одна из функций не имеет полюса в точке

Пользуясь леммой 19 гл. 4, леммой 2 и теоремой 13 гл. 4, убеждаемся в том, что множество удовлетворяет всем условиям, определяющим множество в § 1, где — множество, состоящее из числа 0, нулей многочлена и полюсов всех функций в равенствах (60) при следовательно, не содержащее точку .

Докажем, что при любом и любом из рассматриваемых многочлен является -многочленом. Рассмотрим выражения

где все отличные от нуля числа к являются коэффициентами многочлена Из равенств (60) при имеем

Убедимся в том, что линейные формы (61) и (62) от величин

с коэффициентами из линейно независимы над как линейные формы от независимых переменных.

Допустим противное. Тогда тождественно по величинам (63) выполняется равенство

где хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Поскольку левые части уравнений (62) как линейные формы от величин (63) линейно независимы над то хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Отсюда, ввиду уравнений (62), из равенства (64) следует, что

Перейдем теперь к сопряженным полям Пусть функции, сопряженные для функций а числа -сопряженные для чисел Тогда равенства (61) примут вид

Равенства (60) сохраняется при переходе к сопряженным полям, и из них при получаем

а равенства (64) перейдут в равенства о

Отсюда в силу уравнений (67) следует, что о

Совокупность функций базиса и число по лемме 18 гл. 3 и лемме 2 гл. 4 удовлетворяют всем условиям теоремы 1. По этоц теореме

так как хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Из неравенства (70) и условий (54) следует, что равенства (69) противоречивы, и наше предположение неверно, а линейные формы (61) и (62) линейно независимы над так же как и линейные формы, получающиеся из них при переходе к сопряженным полям

Из доказанного следует, что с помощью соотношений (67) равенства (66) примут вид

В случае когда равенства (71) доказывают, что при любом рассматриваемом любом и любом многочлен является -многочленом. Последнее, очевидно, справедливо и при

Дальнейшее доказательство теоремы в общем случае, когда проходит с помощью основной леммы, точно так, как в случае теоремы 3.

Следствие. Если при условии теоремы 4 при каждом значении чисел

однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы), то существуют постоянные и (постоянные такие, что выполняются неравенства

и

а в неоднородном случае неравенство

Действительно, при условии следствия для любого многочлена

выполняются соотношения

а тогда по теореме 4 выполняются все утверждения следствия.