§ 4. Оценки мер значений Е-функций, связанных произвольными алгебраическими уравнениями над C(z)

Теорема 4. Пусть совокупность КЕ-функций , составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (2) (линейных дифференциальных уравнений Степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) множества этих

функций над равна а функции

однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над Далее, пусть

— совокупность старших членов минимальных однородных уравнений (минимальных уравнений) функций над

Тогда существуют постоянные и (постоянные такие, что

а в неоднородном случае неравенство

Доказательство. Рассмотрим множество и совокупность однородных минимальных уравнений функций над Пусть есть базис полученный с помощью минимальных уравнений (лемма 17 гл. 4), а где число элементов базиса

Множество при любом является множеством в смысле определения из § 1, в чем убеждаемся, пользуясь теоремой 13 и леммой 19 гл. 4. При этом множество А состоит из числа 0 и нулей всех многочленов

Рассмотрим произвольный однородный многочлен (38). Тогда при любом и любом многочлен по условию теоремы является -многочленом. Поэтому по основной лемме, если выбрано так, что выполнено условие (7), то имеет место неравенство (8).

По теореме 13 гл. 4 существует такое, что при выполняется равенство а поэтому

Имеем По лемме 1 существует такое, что при выполняется неравенство

где

Положим

Из равенств (50), (51) следует, что

Значит, а тогда из неравенства (49) и равенства (51) получаем, что выполняется неравенство (7) и, следовательно, неравенство (8).

Из неравенств (48) и равенства (51) находим, что

Из неравенств (8) и последнего неравенства получаем неравенство (45), следствием которого является неравенство (46).