§ 2. Оценки мер значений Е-функций, не связанных алгебраическими уравнениями над C(z)

Теорема 1. Пусть совокупность КЕ-функций

1), составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (2) (линейных дифференциальных уравнений и однородно алгебраически независима (алгебраически независима) над

Тогда существуют постоянные (постоянная с) такие, что выполняются неравенства

а в неоднородном случае неравенство

Замечание. Так как то в неравенствах (27) и (28) показатель в правой части можно заменить на а в неравенстве (29) на

Лемма 1. Пусть

Тогда:

1) существует зависящее только от такое, что при любом выполняется неравенство

2) если же

то при любом выполняется неравенство

Доказательство. Во втором случае ввиду условия (30) функция монотонно возрастает. Поэтому по теореме Лагранжа имеем

Первый случай сводится ко второму, так как, ввиду условия существует такое, что Положим

Тогда, по доказанному во втором случае, при

Полагая получим, что при

Доказательство теоремы 1. Положим в основной лемме Тогда в качестве множества можно взять множество, состоящее из точки 0 и нулей многочлена

Пусть произвольный однородный многочлен Тогда при любом и любом рассматриваемом многочлен является -многочленом. Поэтому по основной лемме, если число выбрано так, что выполняется условие (7), имеет место неравенство (8).

Имеем

Поэтому по лемме 1 при выполняется неравенство

если положить

Это доказывает, что если выбрано так, как в равенстве (31), то условие (7) выполнено.

Ввиду равенства (31) находим

что вместе с неравенством (8) доказывает неравенство (27). Неравенство (28) есть очевидное следствие неравенства (27). Теорема 1 опубликована в 1981 г. в статье При ее второй случай (неравенство (29)) содержится в более общей теореме, доказанной А. И. Галочкиным в 1968 г. [3:1], а в менее точной форме этот случай был опубликован в 1962 г. С. Ленгом [51:2].

Приведем формулировку теоремы Галочкина.

Теорема 2. Пусть каждая из систем КЕ-функций

составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

и совокупность всех этих функций алгебраически независима над Далее, и отлично от нуля и особых точек всех систем (32), степень алгебраического поля, получающегося присоединением к полю К числа Тогда выполняется неравенство

где постоянная, зависящая только от рассматриваемых функций, чисел

Легко доказать однородный вариант теоремы 2 для оценки а также обобщить теорему 2 на случай оценок и