Главная > Трансцендентные числа
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 9. Е-функции, связанные одним алгебраическим уравнением вид C(z)

Пусть совокупность КЕ-функций

имеет степень однородной трансцендентности (степень

трансцендентности) над равную а функции

однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы)

Лемма 5 позволяет предположить, что функции (75) связаны алгебраическими уравнениями

где однородный (произвольный), неприводимый и примитивный многочлен от переменных с коэффициентами из содержащий

Обозначим — множество общих нулей всех многочленов из являющихся коэффициентами членов многочлена содержащих Если то положим в уравнениях Тогда коэффициенты при всех членах многочлена содержащих обратятся в нуль. Но поскольку является примитивным многочленом, то хотя бы один коэффициент при его членах, несодержащих будет отличен от нуля при Поэтому из уравнения при будет следовать, что числа !) однородно алгебраически зависимы (алгебраически зависимы).

Такой случай имеет место, например, когда является линейной формой от а множество состоит из нулей ее коэффициента при

Обозначим

Проведенные рассуждения показывают, что при доказательстве однородной алгебраической независимости (алгебраической независимости) значений Е-функций (76) в точках из А точки множества должны принадлежать множеству исключительных точек. При этом заметим, что последнее, быть может, содержит и другие точки такие, что

При условиях теоремы 6, если множество то оно состоит или из всех, или только из некоторых нулей многочленов При условиях теоремы множество исключительных точек не содержит чисел таких, что

Интересной и трудной является следующая проблема: может ли, при рассмотренных выше условиях, множество исключительных точек функций (76) содержать числа такие, что и

В общем случае ответ на этот вопрос пока не получен даже, когда Можно доказать только следующую теорему.

Теорема 11. Пусть совокупность -функций (75) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (4) (линейных дифференциальных уравнений

Функции

однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над а функции (75) связаны алгебраическим уравнением

где однородный (произвольный), неприводимый и примитивный многочлен от переменных (75) с коэффициентами из Далее,

Тогда числа однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы), а в однородном случае при числа алгебраически независимы.

Доказательство. Как обычно, рассмотрим однородный случай. По лемме 5 можно считать, что По условию теоремы содержит

Если не содержит функций (78), то и теорема справедлива по первой основной теореме.

Пусть теперь содержит хотя бы одну из функций (78), степень по переменным (75). Допустим противное, что а числа однородно алгебраически зависимы. Тогда по лемме многочлене рассматриваемом как многочлен от с коэффициентами из все коэффициенты при различных степенях обращаются в нуль при По предположению среди таких коэффициентов найдется многочлен

степени но переменным (78), где не делящийся на Имеем

Докажем, что равенство (80) противоречиво. Действительно, по условиям теоремы совокупность произведений степеней (62) при линейно независима над поскольку По лемме 18 гл. 3 эта совокупность функций удовлетворяет системе линейных однородных дифференциальных уравнений вида (4), в которой число заменено на и которая не имеет особых точек, отличных от особых точек системы (4). Применяя к совокупности IE-функций (62) при лемму 3, получим, что множество чисел

линейно независимо над Отсюда следует противоречивость равенства (80), что доказывает утверждение теоремы.

Заметим, что в теоремах 8 и 11 множество исключительных точек точно оговорено.

Представляет интерес установить обобщается или не обобщается теорема И на случай совокупности КЕ-функций (75), а также на случаи IE-функций и КЕ-функций (75), связанных любым числом алгебраических уравнений (77) над

В случае произвольной совокупности Е-функций, связанной одним алгебраическим уравнением над полем пока можно доказать только следующее утверждение.

Теорема 12. Пусть совокупность Е-функций (75) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (4) (линейных дифференциальных уравнений и имеет степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) над равную Функции (75) связаны алгебраическим уравнением (79), где однородный (произвольный) неприводимый и примитивный многочлен от переменных (75) с коэффициентами из а его старший член имеет вид

где Далее, .

Тогда числа

однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы), а в однородном случае при числа алгебраически независимы.

Доказательство. Пока рассмотрим однородный случай. Предположим противное, что числа (82) однородно алгебраически зависимы. Тогда они связаны алгебраическим уравнением

где однородный неприводимый многочлен.

Пусть алгебраическое поле, к которому принадлежат коэффициенты степенных рядов по степеням z всех Е-функций (75), коэффициенты многочлена и число . По лемме 5 все числовые коэффициенты многочлена в уравнении (79) можно считать числами из поля К.

При каждом рассмотрим множество состоящее произведений степеней (62) функций (75). Как условлено выше, считаем множество его подмножества и рассматриваемые многочлены от функций (75) упорядоченными в порядке лексикографического расположения по степеням

Вычислим ранг множества (62) над полем Пусть по переменным (75). Уравнение (79) позволяет

рассмотреть линейных однородных уравнений

связывающих функции множества над Действительно, после почленного перемножения произведения

на члены многочлена в левой части каждого из уравнений (84) получается линейная форма от элементов множества с коэффициентами из С другой стороны, рассматривая левые части уравнений (84) как многочлены от функций (75), заметим, что старшие члены этих многочленов являются результатом перемножения произведения (85) на старший член многочлена Следовательно, старшие члены всех многочленов в левых частях уравнений (84) различны, а поэтому линейные уравнения (84) относительно функций из множества линейно независимы над

При условиях теоремы левая часть любого алгебраического уравнения, связывающего функции (75) над должна делиться на многочлен как многочлен от независимых переменных. Поэтому любое линейное уравнение, связывающее функции (62) над есть линейная комбинация уравнений (84) с коэффициентами из Отсюда следует, что ранг множества относительно поля при равен

Теперь оценим — ранг над полем К множества значений функций (62) в точке

Разобьем множество на два множества и К множеству отнесем те элементы в которые входит сомножитель

т. е. все произведения степеней вида

а к множеству все остальные. Число элементов множества равно а тогда число элементов множества равно

Рассмотрим множество и пусть все элементы множества занумерованные по возрастанию их

порядка. Тогда выражения

будут линейными формами с коэффициентами из К от элементов множества так как по определению множества произведения каждого из элементов на любое произведение степеней только функций с суммой показателей, равной к, является элементом

Положим в уравнениях (84) и выражениях Ввиду уравнения (83) получим линейных однородных уравнений, связывающих значения функций (62) в точке над полем К. Эти уравнения линейно независимы, так как в их левых частях старшие члены имеют различные порядки, поскольку при условии коэффициенты при старших членах в уравнениях (84) не обращаются в нуль при Следовательно,

Пользуясь оценкой (86), из последнего неравенства имеем

По лемме 18 гл. 3 совокупность Е-функций (62) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений вида (4), в которой число заменено на и которая не имеет особых точек, отличных от особых точек системы (4). Поэтому к этой совокупности Е-функций применима лемма 3. По лемме 3, пользуясь снова оценкой (86), получаем неравенство

где степень поля К.

Оценка (88) и неравенство (89) при достаточно большом противоречивы. Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы.

Проведенное доказательство сохраняется и в неоднородном случае, если только вместо множества рассматривать аналогичное множество произведений степеней с суммой показателей, удовлетворяющей неравенству к Неоднородный случай является следствием однородного только тогда, когда степень старшего члена многочлена равна его степени по переменным (75).

1
Оглавление
email@scask.ru