§ 9. Е-функции, связанные одним алгебраическим уравнением вид C(z)

Пусть совокупность КЕ-функций

имеет степень однородной трансцендентности (степень

трансцендентности) над равную а функции

однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы)

Лемма 5 позволяет предположить, что функции (75) связаны алгебраическими уравнениями

где однородный (произвольный), неприводимый и примитивный многочлен от переменных с коэффициентами из содержащий

Обозначим — множество общих нулей всех многочленов из являющихся коэффициентами членов многочлена содержащих Если то положим в уравнениях Тогда коэффициенты при всех членах многочлена содержащих обратятся в нуль. Но поскольку является примитивным многочленом, то хотя бы один коэффициент при его членах, несодержащих будет отличен от нуля при Поэтому из уравнения при будет следовать, что числа !) однородно алгебраически зависимы (алгебраически зависимы).

Такой случай имеет место, например, когда является линейной формой от а множество состоит из нулей ее коэффициента при

Обозначим

Проведенные рассуждения показывают, что при доказательстве однородной алгебраической независимости (алгебраической независимости) значений Е-функций (76) в точках из А точки множества должны принадлежать множеству исключительных точек. При этом заметим, что последнее, быть может, содержит и другие точки такие, что

При условиях теоремы 6, если множество то оно состоит или из всех, или только из некоторых нулей многочленов При условиях теоремы множество исключительных точек не содержит чисел таких, что

Интересной и трудной является следующая проблема: может ли, при рассмотренных выше условиях, множество исключительных точек функций (76) содержать числа такие, что и

В общем случае ответ на этот вопрос пока не получен даже, когда Можно доказать только следующую теорему.

Теорема 11. Пусть совокупность -функций (75) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (4) (линейных дифференциальных уравнений

Функции

однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над а функции (75) связаны алгебраическим уравнением

где однородный (произвольный), неприводимый и примитивный многочлен от переменных (75) с коэффициентами из Далее,

Тогда числа однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы), а в однородном случае при числа алгебраически независимы.

Доказательство. Как обычно, рассмотрим однородный случай. По лемме 5 можно считать, что По условию теоремы содержит

Если не содержит функций (78), то и теорема справедлива по первой основной теореме.

Пусть теперь содержит хотя бы одну из функций (78), степень по переменным (75). Допустим противное, что а числа однородно алгебраически зависимы. Тогда по лемме многочлене рассматриваемом как многочлен от с коэффициентами из все коэффициенты при различных степенях обращаются в нуль при По предположению среди таких коэффициентов найдется многочлен

степени но переменным (78), где не делящийся на Имеем

Докажем, что равенство (80) противоречиво. Действительно, по условиям теоремы совокупность произведений степеней (62) при линейно независима над поскольку По лемме 18 гл. 3 эта совокупность функций удовлетворяет системе линейных однородных дифференциальных уравнений вида (4), в которой число заменено на и которая не имеет особых точек, отличных от особых точек системы (4). Применяя к совокупности IE-функций (62) при лемму 3, получим, что множество чисел

линейно независимо над Отсюда следует противоречивость равенства (80), что доказывает утверждение теоремы.

Заметим, что в теоремах 8 и 11 множество исключительных точек точно оговорено.

Представляет интерес установить обобщается или не обобщается теорема И на случай совокупности КЕ-функций (75), а также на случаи IE-функций и КЕ-функций (75), связанных любым числом алгебраических уравнений (77) над

В случае произвольной совокупности Е-функций, связанной одним алгебраическим уравнением над полем пока можно доказать только следующее утверждение.

Теорема 12. Пусть совокупность Е-функций (75) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (4) (линейных дифференциальных уравнений и имеет степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) над равную Функции (75) связаны алгебраическим уравнением (79), где однородный (произвольный) неприводимый и примитивный многочлен от переменных (75) с коэффициентами из а его старший член имеет вид

где Далее, .

Тогда числа

однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы), а в однородном случае при числа алгебраически независимы.

Доказательство. Пока рассмотрим однородный случай. Предположим противное, что числа (82) однородно алгебраически зависимы. Тогда они связаны алгебраическим уравнением

где однородный неприводимый многочлен.

Пусть алгебраическое поле, к которому принадлежат коэффициенты степенных рядов по степеням z всех Е-функций (75), коэффициенты многочлена и число . По лемме 5 все числовые коэффициенты многочлена в уравнении (79) можно считать числами из поля К.

При каждом рассмотрим множество состоящее произведений степеней (62) функций (75). Как условлено выше, считаем множество его подмножества и рассматриваемые многочлены от функций (75) упорядоченными в порядке лексикографического расположения по степеням

Вычислим ранг множества (62) над полем Пусть по переменным (75). Уравнение (79) позволяет

рассмотреть линейных однородных уравнений

связывающих функции множества над Действительно, после почленного перемножения произведения

на члены многочлена в левой части каждого из уравнений (84) получается линейная форма от элементов множества с коэффициентами из С другой стороны, рассматривая левые части уравнений (84) как многочлены от функций (75), заметим, что старшие члены этих многочленов являются результатом перемножения произведения (85) на старший член многочлена Следовательно, старшие члены всех многочленов в левых частях уравнений (84) различны, а поэтому линейные уравнения (84) относительно функций из множества линейно независимы над

При условиях теоремы левая часть любого алгебраического уравнения, связывающего функции (75) над должна делиться на многочлен как многочлен от независимых переменных. Поэтому любое линейное уравнение, связывающее функции (62) над есть линейная комбинация уравнений (84) с коэффициентами из Отсюда следует, что ранг множества относительно поля при равен

Теперь оценим — ранг над полем К множества значений функций (62) в точке

Разобьем множество на два множества и К множеству отнесем те элементы в которые входит сомножитель

т. е. все произведения степеней вида

а к множеству все остальные. Число элементов множества равно а тогда число элементов множества равно

Рассмотрим множество и пусть все элементы множества занумерованные по возрастанию их

порядка. Тогда выражения

будут линейными формами с коэффициентами из К от элементов множества так как по определению множества произведения каждого из элементов на любое произведение степеней только функций с суммой показателей, равной к, является элементом

Положим в уравнениях (84) и выражениях Ввиду уравнения (83) получим линейных однородных уравнений, связывающих значения функций (62) в точке над полем К. Эти уравнения линейно независимы, так как в их левых частях старшие члены имеют различные порядки, поскольку при условии коэффициенты при старших членах в уравнениях (84) не обращаются в нуль при Следовательно,

Пользуясь оценкой (86), из последнего неравенства имеем

По лемме 18 гл. 3 совокупность Е-функций (62) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений вида (4), в которой число заменено на и которая не имеет особых точек, отличных от особых точек системы (4). Поэтому к этой совокупности Е-функций применима лемма 3. По лемме 3, пользуясь снова оценкой (86), получаем неравенство

где степень поля К.

Оценка (88) и неравенство (89) при достаточно большом противоречивы. Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы.

Проведенное доказательство сохраняется и в неоднородном случае, если только вместо множества рассматривать аналогичное множество произведений степеней с суммой показателей, удовлетворяющей неравенству к Неоднородный случай является следствием однородного только тогда, когда степень старшего члена многочлена равна его степени по переменным (75).