§ 4. Функции Куммера

Теперь рассмотрим функцию Куммера

являющуюся при гипергеометрической Е-функцией. Функция (60) удовлетворяет дифференциальному уравнению

Теорема Олейников). Пусть

Тогда числа алгебраически независимы.

Для доказательства теоремы 5 докажем две леммы.

Лемма 7. Если а у — произвольное нетривиальное решение дифференциального уравнения (61), то функции у и у алгебраически независимы над

Доказательство. Допустим противное, что функции у и у алгебраически зависимы над Тогда по лемме 2 существует решение у дифференциального уравнения (61) такое, что является алгебраической функцией. Как и в лемме 3 возможными точками ветвления функции и могут быть только

Докажем, что не является точкой ветвления функции и. Тогда, как и в лемме 3, будет доказано, что и есть рациональная функция.

Из дифференциального уравнения (61) следует, что функция и удовлетворяет дифференциальному уравнению Риккати

Пусть правая часть равенства (24) есть разложение в степенной ряд какой-либо ветви и в окрестности точки с убывающими рациональными показателями. Подставляя это

разложение в уравнение (62), получим

Сравнивая в равенстве (63) коэффициенты при членах с наибольшей степенью z, будем иметь, что либо либо

Докажем, что все показатели при есть целые отрицательные числа.

Действительно, допустим противное и предположим, что есть дробный показатель с наименьшим значением индекса к среди всех показателей при степенях z в ряду (24) такой, что Сравнивая в обеих возможных случаях в равенстве (63) коэффициенты при наибольшей дробной степени z, приходим к противоречию, получая Следовательно, функция и не разветвляется в окрестности точки Тогда точка также не является точкой ветвления и и есть рациональная функция.

Положим

Если то Подставляя это значение У в уравнение (61), находим, что В этом случае пусть Если же то будем считать, что являются отличными от нуля и взаимно простыми многочленами.

Рассмотрим линейную форму

где у — произвольное решение дифференциального уравнения (61), и применим к ней дифференциальный оператор

связанный с дифференциальным уравнением (61). Тогда

Из равенств (64), (65) и (66) следует, что при место уравнения Поэтому как линейные формы от у и с коэффициентами из линейно зависимы.

Как и в случае леммы 3, получаем тождество

из которого имеем уравнения

Из первого из уравнений (67) следует, что если то степени многочленов и равны, а тогда из второго из них находим, что Следовательно, возможны два случая:

Пусть

Сравнивая в левых частях уравнений (67) коэффициенты при старших степенях , получим

откуда

Из уравнений (67) ввиду предположения относительно сделанного перед равенством (65), следует, что и значит Возможны также два случая:

а) . Подставляя в равенство (68) вместо его значение будем иметь

Из первого из уравнений (67) следует, что делится на Это означает, что Но тогда, поскольку взаимно просты, из второго из уравнений (67) получаем, что Подставляя это значение в равенство (68), находим

2) а = 1. Из уравнений (67) следует, что если то степень на единицу больше степени Если же , то, как положено выше, Пусть

где

Сравнивая в левых частях уравнений (67) коэффициенты при старших степенях z, получим

откуда

Снова возможны два случая:

а) . Тогда из равенства (71) имеем

б) . Как и выше в аналогичном случае, из первого из уравнений (67) следует, что делится на Это означает, что Но тогда поскольку взаимно просты, то из второго из уравнений (67) получаем, что Подставляя это значение в равенство (71), получим

Объединяя равенства (69), (70), (72) и (73), получим, что либо либо что доказывает утверждение леммы.

Заметим, что в лемме 7 значения не исключаются.

Лемма 8. Если то функции алгебраически независимы над

Доказательство. Положим и обозначим Докажем по индукции, что функции алгебраически независимы над

При

где функция определена равенством (5.45) с заменой А на Функция связана со своей производной и функцией дифференциальным уравнением

По лемме 7 гл. 5 функции алгебраически независимы над Поэтому из равенств (74) и (75) следует, что функции алгебраически независимы над так как допущение противного приводит к алгебраическому Уравнению над между функциями

Пусть теперь утверждение доказано для Докажем, что тогда оно выполняется и для

Легко проверить равенство

из которого имеем, что

Дифференцируем равенство (76). После этого, пользуясь дифференциальным уравнением (61), исключим из него функцию В результате получим равенство

Из равенств (76) и (77) следует, что функции и функции и алгебраически эквивалентны над (каждая пара функций алгебраически зависит от другой). Поэтому их степени трансцендентности над равны. Но по предположению индукции функции алгебраически независимы над Поэтому и функции алгебраически независимы над По индукции это утверждение справедливо при любом к и лемма доказана.

Теорема 5 следует теперь из теоремы 3 гл. 3 и лемм 7 и 8.

При дифференциальное уравнение (61) имеет решение, логарифмическая производная которого есть рациональная функция. Но все же по лемме 8 функции алгебраически независимы над и утверждение теоремы 5 выполняется.

Например, при уравнение (61) имеет решением алгебраическую функцию если

Все остальные значения параметров которые исключены в условии теоремы 5, действительно являются исключениями.

При функция очевидно, является многочленом. Легко проверить, что при

а при

В этих случаях функции вместе с единицей линейно зависимы над

По теореме 1 гл. 4 при или и любом одно из чисел или трансцендентно. Из линейных уравнений, связывающих функции определяются точки А, в которых одно из чисел или есть алгебраическое число.

Например, при

Числа являются алгебраическими. При

Число есть алгебраическое.

Указанные функции служат примерами Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям второго порядка и принимающих алгебраические значения в алгебраических точках, отличных от нуля и особых точек соответствующих дифференциальных уравнений.