§ 3. Оценки размерностей векторных пространств, порожденных произведениями степеней элементов из расширения некоторого поля

Пусть У — поле, его расширение.

Еслп множество и наибольшее число алгебраически независимых над полем V элементов во множестве равно то I называется степенью трансцендентности множества над V и обозначается

Аналогично, если и наибольшее число однородно алгебраически независимых элементов во множестве равно то I будем называть степенью однородной трансцендентности множества над V и обозначать

Если то введенные понятия называют короче: степень трансцендентности (степень однородной трансцендентности) множества чисел и обозначают

Элемент называется алгебраически зависимым над V от элементов из если алгебраичен над полем т. е. если удовлетворяет алгебраическому уравнению

коэффициенты которого принадлежат и не все равны нулю.

Понятие алгебраической зависимости обладает свойствами, аналогичными свойствам линейной зависимости (см. [82: 1]).

Множество алгебраически зависит над У от множества если каждый элемент первого из них алгебраически зависит над V от элементов второго множества.

Если множества алгебраически зависят над V друг от друга, то они называются алгебраически эквивалентными.

Два алгебраически эквивалентных множества имеют равные степени трансцендентности над

Вместе с приведенными выше общепринятыми определениями введем аналогичные определения для однородного случая.

Элемент будем называть однородно алгебраически зависимым над V от элементов им из если удовлетворяет алгебраическому уравнению (17), левая часть которого — однородный многочлен от степени по этим переменным, а коэффициенты следовательно, однородные многочлены из не все равные нулю и такие, что

Если множества однородно алгебраически зависят над V друг от друга, то будем называть их однородно алгебраически эквивалентными.

Два однородно алгебраически эквивалентные над V множества имеют равные степени однородной трансцендентности над Пусть

Каждое множество состоящее из произведений степеней элементов (18), вида

есюду в дальнейшем будем считать упорядоченным в порядке лексикографического расположения по степеням

Каждый многочлен от переменных (18) и любое алгебраическое уравнение между этими переменными (либо другими переменными) с коэффициентами из некоторого поля будем считать записанными так, что их члены расположены в лексикографическом порядке по степеням (или других переменных).

В настоящем параграфе условимся любое алгебраическое уравнение между элементами (18) над V записывать в таком виде, когда его старший член имеет коэффициент равный 1.

В дальнейшем элементы (18) будут либо числами, либо некоторыми функциями (1).

Пусть обозначает множество произведений степеней

где пробегают всевозможные системы из чисел, удовлетворяющих указанным условиям, обозначает векторное пространство над V, порожденное элементами множества .

Аналогично обозначим множество произведений степеней

а векторное пространство над V, порожденное элементами множества

Обозначим также

Лемма 6. Если и

то существуют положительные постоянные и зависящие

только от числа элементов (18) и поля V, такие, что выполняются неравенства

Постоянные можно выбрать следующим образом:

где определено в доказательстве леммы.

Доказательство. Рассмотрим однородный случай. Неоднородный случай следует из однородного, если заменить на то добавить элемент

Установим оценку снизу в неравенствах (21). Можно считать, что элементы однородно алгебраически независимы над Поэтому произведения степеней

линейно независимы над Так как по лемме 7 гл. 2 их число равно то

что и доказывает необходимое утверждение.

Установим оценку сверху в неравенствах (21). Если то

и утверждение доказано.

Пусть теперь следовательно, Среди элементов (18) наибольшее число однородно алгебраически независимых над V равно Предположим, что любой фиксированный набор однородно алгебраически независимых над V элементов среди всех элементов (18), - остальные из этих элементов. Тогда связаны с алгебраическими уравнениями

где однородный неприводимый многочлен, представленный в

установленной выше форме, т. е. с расположением членов в лексикографическом порядке и со старшим коэффициентом равным 1.

Рассмотрим совокупность всевозможных уравнений вида (24), соответствующих различным наборам по I алгебраически независимых элементов из и оставим в ней только различные уравнения. Обозначим эти уравнения

множество их старших членов

и

Пусть подмножество элементов множества у которых по крайней мере различных показателей удовлетворяют неравенству Фиксируем всеми возможными способами какие-либо значений и соответствующие им показатели а все остальные показатели пусть пробегают всевозможные значения из такие, что

Тогда, пользуясь леммой 7 гл. 2, получим, что количество элементов множества не превосходит числа

Докажем, что каждый элемент множества линейно выражается через элементы множества с коэффициентами из

Действительно, любой элемент из не принадлежащий если такие существуют, имеет по крайней мере показателей при различных номерах таких, что

Но любые элементов из алгебраически зависимы над У. Поэтому по определению множества имеет место равенство

старшии член соответствующего из алгебраических уравнений связывающего элементы над V, а

Произведение помощью уравнения представляется в виде линейной комбинации произведений степеней элементов (18) низших порядков с коэффициентами из Подставим вместо этого произведения в правую часть равенства (26) указанную линейную комбинацию произведений степеней элементов (18). Тогда получим равенство, выражающее линейно через элементы множества низших порядков

Каждый элемент в правой части равенства (28), не принадлежащий множеству указанным выше способом линейно выразим через элементы низших порядков. Продолжим этот процесс до тех пор, пока все элементы, через которые элемент выражается линейно с коэффициентами из V, будут принадлежать множеству Тем самым доказано, что каждый элемент множества линейно выражается через элементы множества с коэффициентами из

Из доказанного следует, что множество содержит базис векторного пространства Тогда из неравенств (23) и (26) следует правая часть неравенств (21). Лемма доказана.

Замечание. Огрубляя результат, можно считать, что число к в выражении для есть наибольшая из степеней всех многочленов в левых частях уравнений (25).