§ 6. Лемма о линейном приближении

Последний этап доказательства теоремы представляет собой индуктивное рассуждение, показывающее, что элементы линейно зависимы над некоторым алгебраическим расширением поля

Лемма 11. Для каждого существует матрица

такая, что

где единичная матрица,

и при

Замечание. Неравенство (25) следует понимать так, что на каждой компоненте вектора нормирование V принимает значение не меньшее Аналогично нужно интерпретировать и неравенство (26).

Доказательство. Проведем его индукцией по При утверждение выполняется с матрицей ввиду неравенств (22). Предположим, что оно справедливо для некоторого Докажем, что тогда оно выполняется и для числа

Из неравенства (25) следует, что существует вектор с такой, что

Из неравенства (27), поскольку получаем, что

Применяя оператор и пользуясь неравенством (19), находим

Так как то ввиду неравенства (27) с матрицей получим

Поскольку для каждого

и для

то

а из неравенства (28) получаем

Применяя оператор к равенствам к, находим, что , и из неравенства (30) получаем

Рассмотрим два случая.

1. Число не делит Тогда неравенство (31) означает, что , и для с некоторым , имеем

Так как элементы алгебраичны над полем то элементы

алгебраически зависимы над полем Поскольку ввиду неравенства (27)

то так же, как и при доказательстве леммы получаем, что

элементы

алгебраически зависимы над полем а элементы связаны однородным алгебраическим уравнением с коэффициентами из С Пользуясь леммой 10, имеем, что Итак,

Из неравенства (27), поскольку следует, что

Если линейные формы

линейно зависимы над то ввиду линейной независимости существует форма содержащаяся в идеале Тогда элементы линейно зависимы над С Но это невозможно. Следовательно, формы (34) линейно независимы, а тогда из равенств (32) и (33) имеем, что Теперь из неравенства (27) следует, что неравенства выполняются для матрицы В с заменой на

2. Число делит Тогда неравенства (31) имеем, что для каждого , существует линейная форма с коэффициентами из С такая, что

или

Пусть , фиксировано. Линейный оператор где единичный оператор, отображает пространство линейных форм от с коэффициентами из С в себя. Пусть и Тогда элементы алгебраически зависимы над полем

Как и в случае 1 с помощью леммы 9 получаем, что Итак, ядро равно нулю и, значит, существует линейная форма такая, что

или

Опять, пользуясь леммой 10, находим, что

Из равенств (33) и (35) ввиду линейной независимости форм (34) получаем, что существует матрица С с комплексными элементами такая, что

Теперь, поскольку неравенство (27) можно переписать в виде

где элементы матрицы являются многочленами от степени не выше, чем Кроме того,

Из доказанного следует, что утверждение леммы будет справедливо для числа если в качестве матрицы соответствующей В взять матрицу По индукции лемма выполняется при любом