§ 4. Доказательства теорем 6 и 7

Доказательство теоремы 6. Совокупность Е-функций определяемых рядами (14), составляет решение системы дифференциальных уравнений

Положим в лемме и

Пусть произвольное число из Выберем где есть простое число. Положим Тогда доказательство алгебраической независимости функций (48) над С и теоремы 6 проходит с использованием уравнений (47) так же, как доказательство теоремы 1.

Доказательство теоремы 7. Рассмотрим совокупность Е-функций:

и докажем, что при любом значении функции (49) алгебраически независимы над С.

При утверждение установлено при доказательстве теоремы 6. Допустим, что оно справедливо для некоторого значения Докажем, что тогда это утверждение справедливо для значения Тем самым справедливость рассматриваемого утверждения будет доказана при любом значении

Положим в лемме обозначим любым способом занумерованные функции:

Обозначим также

Пусть есть произвольное число из Положим где любое простое число. Положим Тогда в точные знаменатели коэффициентов простое число входит в степенях, соответственно,

Заметим, что для функции первый из коэффициентов ее степенного ряда, в точный знаменатель которого входит число имеет индекс, равный Поэтому в точные знаменатели коэффициентов степенных рядов всех функций (50) с индексами, меньшими чем и коэффициентов степенных рядов всех функций (51) с индексами, меньшими чем простое число не входит. Так как то сказанное означает, что простое число не входит в точные знаменатели всех коэффициентов (19).

Итак, функции

алгебраически независимы над С» а это означает, что функции (52) алгебраически независимы над Последние

составляют решение системы дифференциальных уравнений, состоящей из всех уравнений (47) при Поэтому по первой основной теореме гл. 3 числа тк, алгебраически независимы при любом