Глава 3. ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ЗНАЧЕНИЙ Е-ФУНКЦИЙ, НЕ СВЯЗАННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Е-функции
Аналитическая функция
называется Е-функцией, если она удовлетворяет следующим условиям.
1°. 
, где К — алгебраическое поле.
2°. При любом 
3°. Существует последовательность 
такая, что
и
Из условия 2° следует, что Е-функция является целой функцией.
Последовательность 
удовлетворяющая условию (1), существует всегда. Действительно, для каждого 
найдется 
такое, что 
Тогда последовательность 
гл Удовлетворяет условию (1). В условии 3° основным является требование (2).
Простейшими примерами Е-функций являются: алгебраическая постоянная, многочлен с алгебраическими коэффициентами, функции 
и 
Для них выполнение условий 
очевидно.
Рассмотрим некоторые свойства Е-функций:
1) производная Е-функции есть Е-функция;
2) если 
-функция, то 
есть Е-функция;
3) если 
-функция 
то 
есть Е-функция;
4) сумма и произведение конечного числа Е-функций являются Е-функциями.
Первые три свойства очевидны. Докажем четвертое свойство. Достаточно доказать оба утверждения для двух Е-функций. Пусть
Можно считать, что все коэффициенты а» и 
принадлежат одному алгебраическому полю К. По определению Е-функции при любом 
3°. Существуют последовательности 
такие, что
Рассмотрим функции
Тогда
Докажем, что 
являются Е-функциями.
1°. Ввиду условия 
сумма и произведение чисел из К
2°. Пользуясь оценками (4), находим
3°. Положим 
Используя условия (5), получаем
а ввиду оценок (6)
Из свойства 4 имеем
5) любой многочлен с алгебраическими коэффициентами от z и конечного числа Е-функций является Е-функцией.
Объединяя рассмотренные выше свойства Е-функций, получим следующее утверждение: Е-функции образуют кольцо функций, замкнутое по отношению к операциям дифференцирования, интегрирования в пределах от 0 до z и замены аргумента z на 
где 
Е-функции, у которых коэффициенты степенных рядов по степеням z принадлежат алгебраическому полю К, будем называть КЕ-функциями. В частности, IE-функциями при 
где I некоторое мнимое квадратичное поле и 
-функциями при 
