Главная > Трансцендентные числа
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 3. ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ЗНАЧЕНИЙ Е-ФУНКЦИЙ, НЕ СВЯЗАННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 1. Е-функции

Аналитическая функция

называется Е-функцией, если она удовлетворяет следующим условиям.

1°. , где К — алгебраическое поле.

2°. При любом

3°. Существует последовательность такая, что

и

Из условия 2° следует, что Е-функция является целой функцией.

Последовательность удовлетворяющая условию (1), существует всегда. Действительно, для каждого найдется такое, что Тогда последовательность гл Удовлетворяет условию (1). В условии 3° основным является требование (2).

Простейшими примерами Е-функций являются: алгебраическая постоянная, многочлен с алгебраическими коэффициентами, функции и Для них выполнение условий очевидно.

Рассмотрим некоторые свойства Е-функций:

1) производная Е-функции есть Е-функция;

2) если -функция, то есть Е-функция;

3) если -функция то есть Е-функция;

4) сумма и произведение конечного числа Е-функций являются Е-функциями.

Первые три свойства очевидны. Докажем четвертое свойство. Достаточно доказать оба утверждения для двух Е-функций. Пусть

Можно считать, что все коэффициенты а» и принадлежат одному алгебраическому полю К. По определению Е-функции при любом

3°. Существуют последовательности такие, что

Рассмотрим функции

Тогда

Докажем, что являются Е-функциями.

1°. Ввиду условия сумма и произведение чисел из К

2°. Пользуясь оценками (4), находим

3°. Положим Используя условия (5), получаем

а ввиду оценок (6)

Из свойства 4 имеем

5) любой многочлен с алгебраическими коэффициентами от z и конечного числа Е-функций является Е-функцией.

Объединяя рассмотренные выше свойства Е-функций, получим следующее утверждение: Е-функции образуют кольцо функций, замкнутое по отношению к операциям дифференцирования, интегрирования в пределах от 0 до z и замены аргумента z на где

Е-функции, у которых коэффициенты степенных рядов по степеням z принадлежат алгебраическому полю К, будем называть КЕ-функциями. В частности, IE-функциями при где I некоторое мнимое квадратичное поле и -функциями при

1
Оглавление
email@scask.ru