§ 5. Дифференциальные операторы S и «дельта»

На четвертом этапе доказательства теоремы строится некоторый простой идеал кольца и изучаются его свойства.

Так как то существуют элементы такие, что

При этом для имеем Следовательно, среди имеется не менее чем к алгебраически независимых над элементов. В частности, не все эти элементы равны нулю.

Лемма 7. Пусть простой идеал кольца состоящий из всех многочленов, обращающихся в нуль при подстановке в них вместо и

— дифференциальный оператор, действующий в кольце определены в формулировке теоремы).

Тогда однородный идеал,

Доказательство. Обозначим — совокупность многочленов кольца для каждого из которых существует многочлен с условием где нормирование определено перед формулировкой леммы 2. Напомним, что значение на элементах кольца определены в доказательстве леммы 2. Докажем, что однородный идеал кольца

Если то с некоторыми имеем Для находим Если то с некоторым имеем

Так как то Следовательно, идеал.

Пусть где — однородная компонента степени Если и такой, что где однородная компонента степени то так как однородный идеал. Поскольку и являются однородными многочленами разных степеней, то следовательно, Итак, есть однородный идеал.

Пусть и такой, что Легко видеть, что Из этих неравенств следует, что Так как и то Поэтому

Далее, так как то значит, Поскольку находим, что т. е. есть нуль идеала «90 и поэтому «

Точно так же, как и в доказательстве леммы 1, отсюда следует, что идеал однороден, более того, что идеал минимален во множестве простых идеалов, содержащих

Напомним некоторые факты, необходимые для завершения доказательства леммы.

Каждому идеалу кольца соответствует однозначно определенное множество простых идеалов

называемых ассоциированными с , такое, что пересечение есть в точности совокупность многочленов удовлетворяющих с некоторым числом условию Все простые идеалы минимальные во множестве простых идеалов, содержащих , находятся среди

Продолжим теперь доказательство леммы, считая, что простые идеалы, ассоциированные с . Так как идеал минимален во множестве простых идеалов, содержащих то , и, значит, существуют многочлены такие, что . Пусть Тогда значит, с некоторым имеем где Из включения следует, что Поскольку отсюда следует, что и так как а идеал прост, то Этим доказано, что а вместе с тем завершено доказательство леммы.

Из включения аналогично лемме 4, следует, что на поле можно определить дифференциальный оператор для которого

Так как есть алгебраическое расширение, то оператор подобно единственным образом может быть продолжен на поле

Лемма 8. Пусть ненулевые элементы поля для которых существует связывающее их однородное алгебраическое уравнение с коэффициентами из С, и выполняются условия

Тогда найдутся целые числа в совокупности отличные от нуля такие, что

Доказательство. Пусть

— однородное уравнение, связывающее элементы Применяя к этому уравнению раз дифференциальный оператор получим

Рассмотрим равенства (23) при как систему линейных однородных уравнений относительно произведений Так как не все эти произведения равны нулю, то определитель рассматриваемой системы должен равняться нулю. Но этот определитель есть определитель Вандермонда, составленный из чисел при Поэтому найдутся два различных набора чисел из таких, что

Отсюда следует утверждение леммы.

Лемма 9. Идеал рассмотренный в лемме 7, имеет базис, состоящий из линейных форм от переменных Корни характеристического уравнения матрицы А, определенной в формулировке теоремы 7, можно занумеровать так, что где линейные формы удовлетворяют равенствам

Доказательство. Будем использовать здесь и ниже обозначения для векторов с координатами Дифференциальный оператор можно рассматривать как линейное преобразование, действующее на пространстве линейных форм с коэффициентами из С от переменных Матрица этого преобразования в координатах есть и по условию теоремы 7 имеет различные характеристические корни Значит, существуют линейные формы такие, что

Кроме того, можно утверждать, что формы линейно независимы над С (так как

Следовательно, наибольшее число алгебраически независимых над С среди элементов равно и идеал алгебраических уравнений между с коэффициентами из С однороден (см. лемму 7).

Перенумеруем корни характеристического уравнения матрицы А так, чтобы алгебраически независимыми над С были элементы Из леммы 8, ввиду условия теоремы, следует теперь, что т. е. формы принадлежат идеалу Идеал прост и, поскольку формы линейно независимы над С, имеет

размерность, равную Значит, Лемма доказана.

Лемма 10. Пусть а элемент и такой, что алгебраичен над полем

Тогда если для некоторого выполняется равенство то

Доказательство. Из условия леммы следует, что элементы связаны однородным алгебраическим уравнением с коэффициентами из С. Утверждение леммы следует теперь из леммы 8 ввиду условия теоремы 7 и того, что элементы алгебраически независимы над С и, значит, отличны от нуля.