§ 3. Оценки мер значений Е-функций, связанных одним алгебраическим уравнением над C(z)
Теорема 3. Пусть совокупность КЕ-функций 
, составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (2) (системы линейных дифференциальных уравнений (3)), функции 
однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над 
а вместе с функцией 
связаны алгебраическим уравнением
где В — однородный (произвольный) неприводимый и примитивный многочлен степени к от 
переменных с коэффициентами из 
Старший член В имеет вид
Тогда существуют постоянные 
(постоянная с) такие, что выполняются неравенства
а в неоднородном случае неравенство
Замечание. Как и в случае теоремы 1, показатель в. неравенствах (34) и (35) можно заменить на 
а в неравенстве (36) на 
Доказательство. По лемме 5 гл. 4 числовые коэффициенты многочлена В, а следовательно, и многочлена 
могут быть выбраны из 
Рассмотрим множество (4) при любом 
.
Выберем 
так, что элемент 
если 
хотя бы при одном значении 
. С помощью уравнения (33) и леммы 19 гл. 4 легко убеждаемся в том, что 
удовлетворяет всем условиям, определяющим множество 
в § 1 при любом 
причем множество А
состоит из нуля, нулей многочленов 
и 
а
Рассмотрим произвольный однородный многочлен
Тогда при любом 
любом рассматриваемом 
многочлен 
есть, очевидно, 
гмногочлен. Поэтому по основной лемме имеет место неравенство (8), если 
выбрано так, что выполнено условие (7).
Имеем 
Определим 
равенством (31). Рассмотрим три возможных случая.
1. 
. Тогда 
Положим 
пользуясь леммой 1, ввиду равенства (37) получим
так как
Неравенство (39) показывает, что в рассматриваемом случае условие (7) выполняется.
Положим 
Так как 
удовлетворяет условиям второго случая леммы 1, то по этой лемме, ввиду равенств (37) и (31), находим, что
Из неравенств (40) и (8) в рассматриваемом случае следует неравенство (34).
2. 
. В этом случае 
Тогда из равенств (37) имеем
С помощью равенств (31) и (41), рассуждая аналогично тому, как в первом случае, получаем
Неравенство (42) показывает, что условие (7) снова выполняется. Так как, ввиду первого из равенств (41), неравенство (40) также выполняется, то неравенство (34) справедливо и в этом случае.
3. 
. Элементы множества при таком 
линейно независимы над 
и неравенство (39) получается дословно так, как при доказательстве теоремы 1.
Далее, ввиду равенства (31) и неравенства 
находим, что
Это означает, что и в третьем случае выполнено неравенство (40), а следовательно, по основной лемме и неравенство (34). Неравенство (35) есть следствие неравенства (34).
В теореме 3 наибольший интерес представляет случай 
когда старший член многочлена В имеет вид 
