§ 4. Вспомогательные предложения

В дальнейшем будут установлены оценки мер алгебраической независимости значений совокупностей Е-функций в случаях, когда они связаны алгебраическими уравнениями с коэффициентами из Для этого потребуются некоторые вспомогательные предложения, которые докажем в этом параграфе.

Вспомогательная теорема. Пусть совокупность -функций составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (28) (линейных дифференциальных уравнений Степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) этих функций над равна

Тогда, если числа

однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы), то существуют постоянные (постоянная с) такие, что выполняются неравенства

а в неоднородном случае неравенство

где число определяется из условия в котором векторное пространство, порожденное произведениями степеней

над а число — из условия в котором векторное пространство, порожденное произведениями степеней вида (73) с

Доказательство. При утверждение теоремы следует из теоремы 4, так как из алгебраической независимости чисел (69) по лемме 19 гл. 3 следует, что соответствующие им функции алгебраически независимы над При этом можно выбрать , так как

Пусть теперь Из алгебраической независимости чисел (69) следует, что чисел

линейно независимы над полем Произвольно перенумеруем их и обозначим

Пусть ранг чисел

относительно поля I равен Выберем из них чисел, отличных от чисел (74) и линейно независимых вместе с последними над полем I, и обозначим их Если обозначим также о (6) числа множества (75), не вошедшие в совокупность

Пусть - функция множества (73), соответствующая числу при

По лемме 18 гл. 3 совокупность IE-функций (73) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений вида (28), в которой число заменено на и которая не имеет особых точек, отличных от особых точек системы (28). Поэтому к совокупности IE-функций (73) можно применить лемму 3 гл. 4. По этой лемме выполняется равенство Поскольку числа (76) линейно независимы над I, то по лемме 19 гл. 3 соответствующие им функции

линейно независимы над следовательно, составляют базис векторного пространства Поэтому при ,

выполняются равенства

где по лемме 4 гл. 4 все функции

Ни одна из функций не может иметь полюс в точке Действительно, в противном случае, умножая обе части соответствующего из равенств (78) на многочлен, являющийся общим наименьшим знаменателем функций лагая приходим к противоречию с линейной независимостью чисел (75) над полем

При выберем из системы линейных однородных дифференциальных уравнений, которой удовлетворяет совокупность функций (73), те уравнения, левые части которых являются производными функций (77), и подставим в их правые части вместо функций правые части соответствующих равенств (78). Тогда при совокупность функций (77) составит решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений вида (28), в которой число заменено на и для которой точка не является особой.

Следовательно, совокупность функций (77) и число удовлетворяют всем условиям теоремы 1, с заменой в ней на Поэтому по теореме 1 выполняется неравенство

Тогда тем более выполняется неравенство

Но

Фиксируя из неравенств (79) и (80) получаем неравенство (70), что завершает доказательство теоремы.

При условии вспомогательной теоремы, когда по первой основной (второй основной) теореме гл. 3 числа (69) однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) при любом Поэтому при любом таком 1 выполняются неравенства (70) и (71) (неравенство

В случае когда аналогичные утверждения могут не выполняться. В этом случае могут появиться дополнительные исключительные точки, в которых неравенства (70) и (71) (неравенство не имеют места.

Как и в гл. 4, будем говорить, что некоторое утверждение выполняется для почти всех чисел из множества если оно выполняется для всех чисел из за исключением принадлежащих его некоторому конечному подмножеству.

При условии вспомогательной теоремы, по теореме 5 гл. 4, для почти всех числа (69) однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы). Поэтому почти для всех чисел выполняются неравенства (70) и (71), в которых по лемме 6 гл. 4 можно выбрать где число к определено в этой лемме.

Установим два вспомогательных предложения. Пусть — поле, его расширение, Рассмотрим векторное пространство порожденное произведениями степеней

над V и векторное пространство порожденное произведениями степеней вида (81) с условием

Лемма 1. Если степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) над V множества элементов равна и эти элементы связаны алгебраическим уравнением

где неприводимый однородный многочлен (неприводимый многочлен), то

Доказательство. Пусть

— старший член многочлена Обозначим подмножество множества (81) удовлетворяющее условию: если существует индекс такой, что Подмножество образует базис так как его элементы, очевидно, линейно независимы над У, а все элементы множества (81), не принадлежащие с помощью уравнения могут быть представлены в виде линейных комбинаций элементов множества с коэффициентами из Последний результат следует также из леммы 17 гл. 4.

Обозначим подмножества множества (81) (среди которых могут быть и пустые), удовлетворяющие условию: если Тогда Число

элементов множества равно

Поэтому выполняется неравенство

Лемма 2. Если степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) над У множества элементов равна элементы связаны алгебраическими уравнениями

где неприводимый однородный многочлен (неприводимый многочлен), содержащий в степени выполняется неравенство

Доказательство. Подмножество множества (81)

очевидно, содержит базис Но это подмножество содержит не больше элементов, чем следующее множество

число элементов которого равно Поэтому