§ 2. Классический метод Эрмита — Линдемана

С помощью теоремы Лиувилля были построены примеры трансцендентных чисел из довольно узкого класса чисел. Доказательства трансцендентности чисел, имеющих значение в тематике и ее приложениях, например чисел обычно сопряжены со значительными трудностями и стали возможными только с помощью аналитических методов. Вообще в теории трансцендентных чисел большинство основных результатов об арифметических свойствах чисел установлены аналитическими методами.

Первый такой метод для показательной функции был создан Эрмитом в 1873 г. [45: 1]. Пользуясь им, он доказал трансцендентность числа

Развивая метод Эрмита, Линдеман в 1882 г. доказал трансцендентность числа . Поскольку было известно, что циркулем и линейкой можно строить только отрезки, длины которых выражаются числами из некоторого множества алгебраических чисел, то тем самым Линдеман получил отрицательное решение проблемы квадратуры круга.

Линдеман также доказал, что если алгебраическое число, то трансцендентно. Отсюда следовало, что при алгебраическом число трансцендентно.

Все указанные результаты Эрмита и Линдемана содержатся в общей теореме, доказанной Линдеманом и носящей его имя.

Если различные алгебраические числа, а алгебраические числа не все равные нулю, то

Комплексные числа называются алгебраически независимыми, если для любого многочлена с алгебраическими коэффициентами выполняется условие

В противном случае числа называются алгебраически зависимыми.

Понятие алгебраической независимости является обобщением понятия трансцендентности. Если несколько чисел алгебраически независимы, то каждое из них трансцендентно.

Теорема Линдемана эквивалентна следующему утверждению.

Если алгебраические числа линейно независимые над полем рациональных чисел, то числа алгебраически независимы.

Следовательно, методом Эрмита — Линдемана был полностью решен вопрос о трансцендентности и алгебраической независимости значений показательной функции в алгебраических точках.

После работ Эрмита и Линдемана, естественно, возникли попытки обобщить их метод и результаты на другие функции. Но это не удавалось в течение почти полувека. Многие известные математики внесли улучшения и упрощения в доказательства Эрмита и Линдемана, не меняя основных идей их метода. Но при этом существенно новых результатов не было получено. Был также опубликован ряд теорем о трансцендентности значений в алгебраических точках некоторых функций. Утверждения этих теорем с помощью различных преобразований выводились из теоремы Линдемана.

К. Вейерштрасс, упрощая метод Эрмита — Линдемана [87: 1), дал высокую оценку работе Линдемана, а доказанные им теоремы о трансцендентности значений показательной и логарифмической функций в алгебраических точках назвал «одними из красивейших теорем арифметики».

Д. Гильберт, опубликовавший вариант доказательств Эрмита и Линдемана [46: 1], в своем докладе на II Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 г. [46:2] говорил: «Арифметические теоремы Эрмита о показательной функции и их развитие, выполненное Линдеманом, несомненно, останутся удивительными для математиков всех поколений».

Дальнейшие существенные сдвиги в развитии теории трансцендентных чисел произошли в конце 20-х годов текущего сто

летия в работах А. О. Гельфонда и К. Зигеля, а также в середине 30-х годов в работах А. О. Гельфонда и Шнейдера, которые положили начало двум важнейшим аналитическим направлениям исследований в теории трансцендентных чисел, являющимся в настоящее время основными в этом разделе теории чисел.