§ 3. Оценка мер линейной независимости

В этом параграфе алгебраические поля и сопряженные поля будут иметь тот же смысл, что и в гл. 11 и 12.

Как и в § 2 гл. 11, будет обозначать произвольную линейную форму с коэффициентами из с размером линейные формы, получающиеся из формы после замены ее коэффициентов на сопряженные числа из поля

Обобщим теорему 1, доказанную в гл. 11.

Теорема 1. Пусть совокупность КЕ-функций составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (1) и линейно независима над

Тогда существуют постоянные такие, что при условии выполняется неравенство

а если то неравенство

Следствие. условиях теоремы 1 существуют постоянные такие, что гари любом Я выполняется неравенство

Теорема 1. Если при условиях теоремы 1 функции образуют неприводимую систему функций, то в утверждении теоремы I и ее следствия

где

Теорема 1 утверждает, что при условии неприводимости рассматриваемой совокупности функций все постоянные, входящие в утверждение теоремы 1 и ее следствия, эффективны.

Теорема 1 доказывается аналогично теореме 1 гл. И, только при этом вместо леммы 16 гл. 3 используется лемма 6.

Рассмотрим произвольную линейную форму от чисел и сопряженные с ней линейные формы получающиеся из формы заменой ее коэффициентов, коэффициентов стеленных рядов функций и числа на сопряженные числа из полей сопряженных для поля

По лемме 6 при существуют линейно независимых линейных форм (48) от чисел с коэффициентами из удовлетворяющие условиям (49) и (50). Среди этих форм можно выбрать форму так, что вместе с формой они будут линейно независимы. Пусть для определенности это будут формы Рассмотрим сопряженные для них формы

Обозначим буквой А определитель линейных форм определитель, получающийся из А заменой его элементов на сопряженные числа из поля Кол. Далее, обозначим символом алгебраическое дополнение элемента строки и столбца в А. Так и то Значит, при некотором значении выполняется неравенство (11.39). Из: равенств (11.34) и (11.38) при каждом имеем, что выполняется равенство (11.40). Выберем I так, чтобы что возможно, поскольку Тогда из равенства (11.40) получаем неравенство (11.41).

Пользуясь неравенствами (49) и (50) и замечая, что неравенство (50) справедливо для всех форм получаем

Из неравенств (11.39), (11.41), (53) -(55) находим, что

Выберем наименьшим возможным так, чтобы выполнялось условие

Из неравенства (57) имеем, что Логарифмируя это неравенство два раза, получим

В § 1 указано, что Поэтому существует постоянная; такая, что при

будут справедливы неравенства

Тогда из неравенств (58) следует, что условия, наложенные в лемме 6 на число выполнены, а из неравенств (56) и (57) имеем

Ввиду выбора числа выполняется неравенство

откуда

Логарифмируя, получим

а тогда, используя неравенство (58), имеем

откуда, ввиду неравенств (57), (60) и (61), находим, что

и

Из неравенств (59), (61) и (62) получаем

а так как и выполняются неравенства (58) и (63), то

Положим

Тогда при из неравенства (65) следует неравенство (51).

При неравенство (52) следует из неравенства (51), тгак как модули комплексно сопряженных чисел равны. Следствие и теорема 1 следуют из теоремы 1 и равенств (24) и (65) ввиду того, что при имеет место неравенство

Из теоремы 1 следует полезная для приложений к конкретным функциям формулируемая ниже теорема.

Теорема 2. Пусть совокупность КЕ-функций составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (8) и линейно независима с числом 1 над

Тогда существуют постоянные у и такие, что тгри условии выполняется неравенство

а если то неравенство

Имеют место следствие из теоремы 2 и теорема 2, аналогичные следствию из теоремы 1 и теорем 1.