Глава 7. РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА

§ 1. Решения неоднородных дифференциальных уравнений

В этой главе с помощью второй основной теоремы гл. 3 будет получен ряд результатов об алгебраической независимости значений некоторых совокупностей Е-функций. Для доказательства алгебраической независимости рассматриваемых функций над применяется метод, основанный на дифференциальных свойствах этих функций и свойствах делимости многочленов от нескольких переменных. Он представляет собой дальнейшее развитие методов, которые использовались в гл. 5 и 6.

Обозначим

Функция есть Е-функция. Представим функцию при следующим образом:

Сумма в правой части последнего равенства является гипергеометрнческой функцией вида (5.1). По леммам 1 и 2 гл. 5 и свойствам Е-функций имеем, что при любом есть Е-функция, удовлетворяющая линейному неоднородному дифференциальному уравнению с коэффициентами из порядка к с одной особой точкой

Совокупность функций (1) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

Относительно функций (1) установим следующую теорему, являющуюся обобщением теоремы Линдемана.

Теорема 1. При любых если алгебраические числа линейно независимы над то: 1) числа алгебраически независимы; 2) числа алгебраически независимы.

Установим необходимые вспомогательные предложения. Пусть некоторое поле аналитических функций, содержащее поле С и замкнутое относительно операции дифференцирования.

Лемма 1, Если алгебраическая функция над полем то и

Доказательство. Пусть

— неприводимый многочлен такой, что Если то лемма справедлива. Если же то дифференцируя уравнение получим

Так как степень алгебраической функции над равна а по условию леммы то из уравнения (3) следует, что Интегрируя, находим Отсюда следует утверждение леммы. Обозначим

Из уравнений (2) следует, что совокупность функций (4) составляет решение системы дифференциальных уравнений

Лемма 2. При любых если комплексные числа линейно независимы над то функции (4) алгебраически независимы над

Доказательство. Упорядочим функции (4) следующим образом:

Перенумеруем их по возрастанию порядка:

Тогда система дифференциальных уравнений (5) примет вид

Функции алгебраически независимы над по лемме 21 гл. 3. Предположим, что функции где алгебраически независимы и докажем, что функции алгебраически независимы над

Тогда лемма будет справедлива при любых

Допустим противное — что существует неприводимый многочлен

содержащий и такой, что

Рассмотрим поле аналитических функций Из дифференциальных уравнений (7) следует, что 2 замкнуто относительно операции дифференцирования. Из уравнения (8) имеем, что является алгебраической функцией над Соответствующее из дифференциальных уравнений (7) позволяет утверждать, что . Поэтому по лемме Следовательно, уравнение (8) имеет вид

где взаимно простые многочлены.

Дифференцируя обе части уравнения и пользуясь после этого дифференциальными уравнениями (7), получим

где обозначают полные производные по z функций в которых появившиеся после дифференцирования производные заменены на правые части соответствующих дифференциальных уравнений (7). Тогда

Левая часть уравнения (10) есть рациональная функция от над Но функции алгебраически независимы над Следовательно, равенство (10) выполняется тождественно по Умножая обе части тождества (10) на получим

взаимно простые многочлены из Поэтому из тождества (11) следует, что делится на

так как степени по равны, а степень по z быть может на единицу больше степени

Расположим члены многочлена в лексикографическом порядке по степеням с коэффициентами из Пусть

— старший член многочлена Тогда

есть старший член многочлена Значит,

откуда

Интегрируя равенство (12), имеем

Следовательно, многочлен не зависит от Подставляя найденное значение в тождество получим

Возможны два случая.

A. , т. е. Из тождества (15) и равенства (14) следует, что в многочлен входит Тогда

Сравним в тождестве (15) члены, не зависящие от у и Рассмотрим два подслучая.

1) В равенстве Тогда из тождества (15) следует, что

Интегрируя это дифференциальное уравнение, получаем

что невозможно, так как и являются целыми функциями, имеет логарифмическую точку ветвления.

2) В равенстве (14) 0. Тогда из этого равенства имеем, что так как взаимно простые многочлены. Поэтому

откуда

Но последнее равенство невозможно ввиду того, что не зависит от а функции по предположению алгебраически независимы над

Б. . Пусть снова представлено равенством (16).

Дифференцируя, имеем

Рассмотрим три подслучая.

1) . Пользуясь равенствами (16) и (17) и сравнивая в тождестве (15) коэффициенты при получаем

Отсюда находим

Интегрируя линейное дифференциальное уравнение (18), имеем

Но полученное равенство невозможно, так как алгебраически независимы над

Аналогично находим

Интегрируя, получаем

Но последнее равенство невозможно, так как в его обеих частях все члены, кроме одного, являются целыми функциями, а

последний член в правой части имеет логарифмическую точку ветвления.

3) Аналогично приходим к уравнению

интегрируя которое, находим

Но последнее равенство невозможно по тем же соображениям, что и равенство (19).

Следовательно, тождество (15) всегда противоречиво и по индукции лемма справедлива.

Пусть V — поле, коммутативное кольцо или поле, содержащее поле

Лемма 3. Пусть два множества элементов

связаны линейными уравнениями

такими, что

Тогда В частности, если элементы одного из множеств (20) или (21) алгебраически независимы над V, то алгебраически независимы над V и элементы другого из них.

Доказательство. Из равенств (22) следует, что каждый из элементов (21) алгебраически зависит над У от элементов (20). Ввиду условия (23) каждый из элементов (20) линейно выражается из равенств (22) через элементы (21) и 1 с коэффициентами из Поэтому каждый из элементов (20) алгебраически зависит над У от элементов (21). Следовательно, множества (20) и (22) алгебраически эквивалентны над V, а по свойству алгебраической независимости их степени трансцендентности над V равны.

Доказательство теоремы 1. 1) Утверждение следует из второй основной теоремы гл. 3 и леммы 2, так как функции (4) составляют решение системы дифференциальных уравнений (5).

2) Рассмотрим сначала случай Дифференцируем уравнение последовательно раз. При этом после каждого дифференцирования заменяем

появляющиеся производные на правые части соответствующих дифференциальных уравнений (5). В результате получим, что каждая из функций сот линейно выражается через функции и 1 с коэффициентами из

Матрица коэффициентов при функциях будет треугольной, а все ее элементы, стоящие на главной диагонали, не обращаются в нуль при 0. Поэтому определитель этой матрицы будет отличным от нуля при

Полагая в полученных линейных уравнениях пользуясь леммой 3 при и первым утверждением теоремы 1, получим ее второе утверждение при

Случай произвольного значения доказывается аналогично. Надо только функции (4) упорядочить следующим образом: