§ 5. Доказательства теорем

Доказательство теоремы 7. При теорема очевидна. Пусть теперь Предположим противное, что функции (51) алгебраически зависимы над Пусть число I таково, что любые из этих функций алгебраически независимы над но среди них имеется I функций, алгебраически зависимых над Так как все функции (51) трансцендентны, то число I удовлетворяет неравенствам Пользуясь свободой выбора нумерации функций (51) можно считать, что функции алгебраически зависимы над первые уравнений системы дифференциальных уравнений (50) имеют решения из а последующие уравнений этой системы не имеют решений из

Рассмотрим уравнение системы (50)

Пусть есть решение уравнения (67),

Тогда функция

удовлетворяет дифференциальному уравнению

Применяя лемму 11 к функции (68), получим, что

где характеристический многочлен дифференциального уравнения (67).

По предположению существует неприводимый многочлен

такой, что

Заменим в многочлене переменные следующим образом:

В результате получим многочлен от с коэффициентами из После умножения его на некоторый многочлен будем иметь неприводимый многочлен

Ввиду равенств (71) и (72) уравнение (70) перейдет в уравнение

Возможны два случая.

Первый случай, когда имеет место равенство Тогда из уравнения (73) следует, что функции алгебраически зависимы над а последнее невозможно ввиду условия 2° теоремы 6 и леммы 10. Следовательно, уравнение (73), а вместе с ним и уравнение (70) противоречивы. Значит, совокупность функций (51) алгебраически независима и в рассматриваемом случае теорема справедлива.

Теперь рассмотрим второй случай, когда выполняется неравенство Обозначим Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

и связанный с ней дифференциальный оператор

Очевидно, что функции

составляют решение системы (74). Так как функции (76) связаны над уравнением (73), то по следствию из леммы 4 существует функция такая, что

Установим некоторые свойства многочлена удовлетворяющего тождеству (77).

Пусть Представим многочлен в следующем виде:

Из равенств (75), (77) и (78) имеем

Рассмотрим все ненулевые члены многочлена (78), зависящие от переменных и выберем среди них любой член наибольшей степени по . Пусть он имеет вид

Обозначим

Из равенства (79) и определения следует, что каждый коэффициент многочлена с условием удовлетворяет дифференциальному уравнению

Пусть есть индекс, такой, что Рассмотрим коэффициент многочлена с индексами если Заметим, что возможно равенство

Сравнивая коэффициенты при равенстве (79), находим, что многочлен удовлетворяет уравнению

В равенстве (81) и в дальнейшем для краткости обозначает коэффициент Покажем, что тому же уравнению удовлетворяет и функция

Действительно, пользуясь тем, что вследствие равейства многочлен удовлетворяет дифференциальному уравнению (80) с параметрами вместо получим

Итак, две функции и (82) удовлетворяют дифференциальному уравнению (81). Поэтому их разность

есть решение дифференциального уравнения (80) с параметрами

Рассмотрим функцию

Из равенства

так как многочлен естъ решение дифференциального уравнения (80) с параметрами а функция решение того же уравнения, но с параметрами следует, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

Следовательно, функция

удовлетворяет дифференциальному уравнению системы (50) с индексом

По условию теоремы все функции (51) трансцендентны, а для системы дифференциальных уравнений (50) выполняется

условие 1°. Поэтому, применяя лемму 12 к системе (50) и ее решению

ввиду линейного уравнения (85), связывающего функции (86) и 1 над получаем, что функция должна быть рациональной. Но она не может быть рациональной, так как дифференциальное уравнение системы (50) с индексом не имеет решением рациональную функцию.

Полученное противоречие доказывает, что функции (51) алгебраически независимы над и во втором случае. Теорема 7 доказана полностью.

Вместе с теоремой 7 доказана и теорема 6. Докажем теперь теоремы 4 и 5.

Доказательство теоремы 4. Рассмотрим совокупность -функций

Из дифференциального уравнения (18) имеем, что эти функции составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений

Из условия теоремы 4 следует, очевидно, что условие 1° теоремы 6 выполнено.

Интегрируя первые уравнений системы (87) (ей. равенство получим, что все эти уравнения имеют решениями рациональные функции, поскольку по условию теоремы 4 число Остальные уравнений этой системы не имеют решений из так как в противном случае целую трансцендентную функцию при некоторых значениях можно было бы представить в виде

что невозможно ввиду того, что по условию теоремы 4 все — дробные рациональные числа.

Из доказанного имеем, что для уравнений системы (87), имеющих рациональные решения, и эти многочлены линейно независимы над так как по условию теоремы 4 числа линейно независимы над Следовательно, условие 2° теоремы 6 также выполнено.

Пользуясь теоремой 6 при получим, что числа

алгебраически независимы. Теорема 4 доказана.

Для доказательства теоремы 5 необходимо еще следующее утверждение.

Лемма 13. Если целая трансцендентная функция первого порядка является решением линейного дифференциального уравнения первого порядка (16), то

Эта лемма является частным случаем общих результатов о решениях в целых функциях линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами из содержащихся в монографии Валирона и доказываемых методом Вимана — Валирона. В частности, там доказано, что если целая трансцендентная функция порядка является решением дифференциального уравнения первого порядка (16), то Лемма 13 следует из последнего равенства при Доказательство этого утверждения в книге не приводится.

Доказательство теоремы 5. Из леммы 13 следует, что характеристический многочлен дифференциального уравнения (16) имеет вид где

Рассмотрим совокупность Е-функций удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений

Разлагая функции на простейшие дроби, интегрируя и пользуясь тем, что числа различны, получим, что выполняется условие 1° теоремы 6. Для системы а тогда из условия теоремы 5, очевидно, следует, что выполнено условие 2° теоремы 6. Поэтому по теореме 6 при получаем, что числа (49) алгебраически независимы. Теорема 5 доказана.

Теорема Линдемана и теорема 2 совсем просто следуют из теоремы 6. Для их доказательства проверка выполнения условий 1° и 2° тривиальна.