§ 5. Дальнейшие результаты

Рассмотрим функции

Заметим, что Функция (53) при есть гипергеометрическая Е-функция, удовлетворяющая линейному дифференциальному уравнению порядка к с коэффициентами из Как и в § 1 гл. 7 в случае функций (7.1) убеждаемся в том, что функции (54) при являются Е-функциями, а функция есть решение линейного дифференциального уравнения порядка тк.

Теорема 8. Пусть

Тогда: 1) числа алгебраически независимы; 2) числа алгебраически независимы. В частности, числа алгебраически независимы.

Доказательство. Применим лемму 1, положив в ней

Функция очевидно, удовлетворяет условию 1° леммы 1. Пусть

Тогда для функций (55) имеем в обозначениях леммы если

Пусть есть произвольное натуральное число. В прогрессии а содержится бесконечное множество простых чисел. Поэтому выберем так, чтобы где простое число и Тогда из равенств (56) следует, что в точные знаменатели чисел простое число входит в степенях, соответственно, и не входит в точные знаменатели всех чисел Значит, функции (55) удовлетворяют и условию 2° леммы 1.

Тогда, по этой лемме, функции (55) алгебраически независимы над а последнее означает, что функции (54) алгебраически независимы над

Совокупность Е-функций (54) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

имеющей единственную особую точку и алгебраически независима над Поэтому по второй основной теореме гл. 3 числа алгебраически независимы.

Пусть дана система рациональных чисел

Систему (58) будем называть правильной, если для любых различных индексов разность числителей а не делится на наибольший общий делитель знаменателей

Пусть теперь Положим

Разобьем числа (59) на классы, относя к одному классу те из этих чисел, для которых отношение имеет одно и то же значение.

Систему чисел (59) назовем нормальной по отношению к числам если при указанном разбиении ее на классы в каждом классе, содержащем более одного элемента (если такие классы имеются), входящие в него элементы составляют правильную систему чисел.

Теорема 9. Пусть числа составляют нормальную систему чисел по отношению к числам

Тогда: чисел алгебраически независимы; чисел алгебраически независимы. В частности, чисел алгебраически независимы.

Для доказательства теоремы установим следующую лемму. Лемма 3. При условиях теоремы 9 функции

алгебраически независимы над

Доказательство. Обозначим К — алгебраическое поле, содержащее все числа Пусть такое, что Положим

и разобьем числа на классы в соответствии с величиной отношения как и выше. Поскольку нумерация этих чисел в нашем распоряжении, то перенумеруем их последовательно по классам по возрастанию отношения а в каждом классе, содержащем более одного числа, произвольно. Тогда для любых чисел будем иметь если они принадлежат к разным классам, если они принадлежат к одному классу.

Для доказательства леммы достаточно показать, что функции (60) и z алгебраически независимы над С.

Докажем это утверждение индукцией по При оно следует из леммы 1. Предположим, что утверждение выполнено для значения и докажем, что тогда оно справедливо для значения

Для доказательства применим лемму 1, положив в ней равными соответственно

Условие 1° леммы 1, очевидно, выполняется. Покажем, что выполнено условие 2° этой леммы.

Рассмотрим коэффициенты функций Коэффициенты и имеют тот же вид, что и в равенствах (56), если только в последних числа к и заменить соответственно на а у коэффициентов добавить в числителях множители Коэффициенты равны нулю

при и равны 1 при имеет вид

где в зависимости от того, какие индексы соответствуют функции как функции Обозначим

и пусть есть произвольное натуральное число. В прогрессии содержится бесконечное множество простых чисел. Поэтому положим и выберем натуральное число так, чтобы где простое число, не делящее дискриминант поля К и не делящееся ни на один из конечного числа простых идеалов, являющихся делителями чисел и чтобы одновременно выполнялись неравенства

Из неравенств (63) следует, что

Теперь выберем простой идеал делящий простое число Так как не делит дискриминант поля К, то не делится на Поскольку простые идеалы, являющиеся делителями различных простых чисел, различны, то из равенств, аналогичных равенствам (56), ввиду обозначения (62) и неравенств (63) следует, что в точные знаменатели чисел простой идеал входит в степенях соответственно и не входит в точные знаменатели всех чисел

Докажем, что не входит в точные знаменатели всех чисел

Из равенств (61) следует, что для этого достаточно доказать, что ни одно из чисел всех прогрессий у которых индекс удовлетворяет неравенствам

или

не делится на простое число

Пусть любое число из ряда чисел Возможны два случая. 1. . Тогда из равенства следует, что

Ввиду неравенств (63), (65) и (66) и обозначения (62) находим

Последнее неравенство показывает, что в 1 случае числа с рассматриваемыми значениями не делятся на .

2. . Тогда для значении удовлетворяющих условиям (65), пользуясь неравенствами (63) и (65), обозначением (62) и равенством получим

Если делится на то из неравенства (68), ввиду второго из условий (63) и определения следует, что

Из этого равенства следует, что наибольший общий делитель делит разность что невозможно, так как система чисел является нормальной по отношению к принадлежат одному классу. Поэтому и во втором случае числа со значениями удовлетворяющими неравенствам (65), не могут делиться на

Значит, действительно не входит в точные знаменатели всех чисел (64). Тем самым доказано, что выполнено и условие 2° леммы 1. Тогда по этой лемме функции (60) и z алгебраически независимы над С и лемма 3 доказана.

Доказательство теоремы 9. Совокупность Е-функций (60) составляет решение системы из линейных дифференциальных уравнений первого порядка, состоящей из подсистем, получающихся из системы (57), если в ней заменить числа , к и тк на произвести замену z

на и перенумеровать функции соответственно двумя индексами Эта система имеет единственную особую точку Поэтому по второй основной теореме гл. 3 и лемме 3 числа алгебраически независимы.

Укажем очевидные условия, при которых выполняется утверждение теоремы 9.

1. Числа составляют нормальную систему чисел относительно чисел если при т. е. когда все классы состоят из одного числа.

2. Числа составляют нормальную систему чисел относительно чисел если для каждого класса этой системы чисел, состоящего более чем из одного числа, все числа, входящие в класс, имеют один и тот же знаменатель и при

Отсюда, в частности, получаем, что теорема 9 выполняется в следующих случаях:

б) , где составляют приведенную систему вычетов по модулю

В работе [28 : 23] устанавливаются и другие случаи, когда числа составляют нормальную систему чисел относительно чисел

Теоремы 6, 7 и 8 следуют из теоремы 9. Если дана конкретная совокупность чисел то, вообще говоря, не трудно проверить непосредственно составляет ли она нормальную систему чисел относительно чисел

Заметим, что условия теоремы 9 являются лишь достаточными для выполнения ее утверждения.

В 1967 г. И. И. Белогривов [1 : 2, 3], развивая метод, изложенный в главе 8, исследовал некоторые классы гипергеометрических функций. В частности, относительно функций

он доказал следующую теорему.

Теорема 10. Пусть причем если одно из этих чисел целое, то другое не равно половине нечетного числа,

Тогда числа алгебраически независимы.

При в теореме 10 содержится теорема 6 гл. 6.

В той же работе доказывается ряд теорем об алгебраической независимости значений функций

их последовательных производных и некоторых связанных с ними функций при заданных ограничениях на значения параметров. Приведем формулировку наиболее простого результата.

Теорема 11. Пусть причем те дробные доли этих чисел, которые отличны от нуля, либо все больше 1/2, либо все меньше 1/2, а

Тогда числа алгебраически независимы.