§ 3. Трансцендентность значений показательной функции в алгебраических точках

Теорема 6. (Ф. Линдеман) Если алгебраическое число, то число трансцендентно.

Эта теорема может быть доказана с помощью тождества Эрмита, аналогично тому, как была доказана теорема 5, с некоторыми усложнениями в преобразованиях. Приводимое ниже доказательство основано на другой идее, ведущей свое начало от работы А. О. Гельфонда [5: 1, 2], в которой было дано частичное решение седьмой проблемы Гильберта.

В этом доказательстве с помощью разложения функции в интерполяционный ряд Ньютона строится последовательность многочленов с целыми коэффициентами такая, что достаточно быстро убывает с ростом Если допустить, что алгебраические числа и воспользоваться оценкой снизу многочлена с целыми коэффициентами от двух алгебраических чисел (теорема И гл. 1), то получается оценка снизу для противоречащая установленной оценке сверху. Отсюда следует, что число не может быть алгебраическим.

Прежде чем доказывать теорему 6 рассмотрим разложение в интерполяционный ряд функции

Пусть функция является аналитической в области фиксированный набор точек из среди которых могут быть и совпадающие.

Определим

Пусть При каждом выполняется очевид ное тождество

Умножая его обе части на имеем

Складывая почленно все последние тождества и пользуясь тем, что получаем тождество

или

Пусть С — простой замкнутый контур целиком лежащий в вместе с ограниченной им областью, которая содержит все точки Умножая обе части тождества (46) на и интегрируя по контуру С в положительном направлении, пользуясь при этом формулой Коши, получим

Обозначим

Из равенств (47), (48) и (49) следует, что

Равенство (50) называется интерполяционной формулой Ньютона для функции с узлами интерполяции

Пусть теперь дана бесконечная последовательность точек из области Предположим, что для всех z из области где Тогда

Ряд (51) называется интерполяционным рядом Ньютона для функции в области с узлами интерполяции

Если все узлы интерполяции совпадают, то ряд Ньютона переходит в ряд Тейлора.

Пусть натуральное число. Выберем за узлы интерполяции бесконечную периодическую последовательность

с периодом где

Разложим функцию где комплексное число, в ряд Ньютона с узлами интерполяции (52).

Пусть любое число такое, что Рассмотрим и оценим остаточный член (49) формулы Ньютона для функции при

где С — окружность

Так как из условия (53) следует, что то

и

для всех z таких, что

Далее, поскольку то на окружности имеем

и

Пользуясь неравенствами (55), (56) и так как получим оценку для интеграла (54)

Числа фиксированы. Поэтому из неравенства (57) имеем, что

для всех z таких, что

Число может быть выбрано сколь угодно большим. Поэтому условие (58) выполняется при любом комплексном Следовательно, при любом комплексном z функция представляется в виде суммы ряда Ньютона (51) с узлами интерполяции (52), удовлетворяющими условиям (53).

Итак,

где

Выбирая за контур С окружность где аналогично тому, как в случае оценки интеграла (54), получим оценку сверху для

где число зависит только от

Для доказательства теоремы 6 будет необходима оценка снизу. Для этого докажем одно вспомогательное предложение

Условие (53), определяющее последовательность узлов интерполяции (52), позволяет представить следующим образом:

где целые числа зависящие от удовлетворяют условиям

Поэтому равенства (60) примут вид

Пусть общее наименьшее кратное чисел

Лемма 3. Пусть определено равенством (64), а число равенством (65).

Тогда существует многочлен

такой, что

и

Доказательство. По теореме Коши из равенства (64) имеем

где окружность с обходом в положительном направлении.

Разложим функцию в ряд Тейлора по степеням к).

Тогда

где - целая функция, имеющая в точке нуль порядка Поэтому по теореме Коши

и

Обозначим при каждом

Докажем, что все числа

Число равно вычету в точке подынтегральной функции в интеграле (72), т. е. коэффициенту при в разложении этой функции в ряд Лорана по степеням . Найдем это разложение.

Пусть Рассмотрим функцию

Положим

и разложим функцию (73) в ряд по степеням и. Получим

Ряд (75) абсолютно сходится в круге

Так как общее наименьшее кратное чисел то все числа являются целыми и поэтому

Функция

является произведением сомножителей вида среди которых имеются и равные.

Перемножая ряды вида (75), соответствующие всем таким функциям ввиду равенства (74), получим

где все По теореме о перемножении рядов ряды в равенстве (76) сходятся, соответственно, в кругах

По теореме о вычетах из равенств (72) и (76) находим, что

Из равенств (77) имеем, что

Из равенств (70), (71) и (72) получаем

откуда, ввиду равенств (77), следует, что существует многочлен степени которого по х и у удовлетворяют неравенствам (67), и такой, что выполняется равенство (69).

Оценим числа пользуясь представлением (72). Если то а при к имеем, что Поэтому

Из равенств (69) и (78) и неравенств (79) получаем, что высота многочлена удовлетворяет неравенству (68).

Доказательство теоремы 6. Допустим противное, что являются алгебраическими числами, Пусть степень алгебраического поля, которому принадлежат

Рассмотрим разложение (59) функции в интерполяционный ряд Ньютона с узлами интерполяции (52), удовлетворяющими условиям (53), положив

По доказанному для коэффициентов этого разложения имеет место оценка сверху (61), а по лемме 3 выполняется равенство (69), где а степени по х и у и высота удовлетворяют неравенствам (67) и (68).

Пусть обозначают положительные постоянные, зависящие только от чисел

По теореме 11 гл. 1 ввиду предположения, что либо выполняется равенство либо

где как это следует из неравенств (67) и (68).

Так как а из неравенства (65) следует, что из неравенства (80) получаем оценку

Из равенства (69) и неравенства (61) имеем, что

Неравенства (81) и (82) при достаточно большом противоречивы. Следовательно, существует число такое, что при всех а функция должна быть многочленом, что невозможно. Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы 6.

Теорема Линдемана о линейной независимости над полем алгебраических чисел значений в алгебраических точках показательной функции будет доказана другим методом с помощью построения системы линейных форм с коэффициентами из от рассматриваемой совокупности показательных функций. Как будет показано, он тесно связан с методом, изложенным в § 3. Ознакомление с этим новым методом будет полезно для читателя, так как в дальнейшем он будет существенно обобщен и применен к более широкому классу функций. Его изложение начнем с простейшего случая — приближения показательной функции рациональными функциями.