§ 7. Обобщение теоремы Зигеля

Если то пользуясь теоремой Зигеля, нельзя утверждать, что четыре числа где алгебраически независимы. В этом случае соответствующие четыре функции оказываются алгебраически зависимыми над

Действительно, рассмотрим функции Бесселя и являющиеся линейно независимыми решениями дифференциального уравнения Бесселя (42). Выполняются равенства

По формуле Лиувилля для уравнения Бесселя

Подставляя в уравнение (72) вместо функций и их производных правые части равенств (71) и их производные и находя значение с, получаем уравнение

Докажем, что справедливо следующее утверждение. Теорема 8. Если из четырех чисел любые три алгебраически независимы.

Доказательство. Из лемм 3 гл. 6 и леммы 8 гл. 5 следует, что при X, удовлетворяющем условию теоремы, для дифференциального уравнения Бесселя выполняются условпя леммы 4 при По этой лемме для любых двух линейно независимых решений уравнения Поэтому ввиду уравнения (73) любые три из функций алгебраически независимы над Эти четыре функции составляют решение системы

дифференциальных уравнений

Применяя к ним третью основную теорему гл. 4, получим, что Тогда из равенства (73) при следует утверждение теоремы, так как любое из четырех чисел, входящих в него, алгебраически зависит от трех остальных из них.

Покажем, что ограничения, наложенные в теореме Зигеля на значения рациональных параметров существенны. Пусть в дальнейшем

Если то в § 2 гл. 6 было показано, что в этом случае алгебраически зависимы над

Заметим, что рекуррентные уравнения (6.42) и (6.43), в которых позволяют утверждать, что при любом возможном и любом возможном X, функции линейно выражаются через функции с коэффициентами из Поэтому соответствующие числа линейно выражаются через числа с коэффициентами из А.

Из этого замечания следует, что случай, когда в теореме Зигеля является исключением и среди чисел

не более двух алгебраически независимы (два, если одно, если где

Аналогично, в случае когда пользуясь еще уравнением (73) и теоремой 8, получаем, что среди чисел (74) не более трех алгебраически независимы (три, если одно, если , где .

В случае, если где из равенств и рекуррентных уравнений (6.42) и (6.43) находим, что числа линейно выражаются через числа с коэффициентами из А.

Докажем следующую теорему, обобщающую теорему Зигеля. Теорема 9. Пусть числа удовлетворяют условиям

Далее, и линейно независимы над полем

Тогда чисел алгебраически независимы.

Из проведенных выше рассуждений следует, что теорему 9 достаточно доказать в случае, когда а числа заменить, соответственно числами Докажем сначала необходимые вспомогательные предложения. Пусть поле 2 определено как и в §§ 2, 3, 4, 6.

Лемма 9. Пусть дифференциальные уравнения

удовлетворяют условиям:

1°. Существуют функции тате, что

2°. Для любых нетривиальных решений соответствующих дифференциальных уравнений (75) функции алгебраически независимы над полем

Далее, решения соответствующих уравнений (75) такие, что линейно независимо над С с решением

Тогда функции алгебраически независимы над полем 2.

Доказательство. Рассмотрим поле Для доказательства леммы достаточно показать, что функции алгебраически независимы над Докажем это утверждение индукцией по числу функций

При применим к первому из уравнений (75) лемму 4, заменив в на поле По условию леммы функции алгебраически независимы над Поэтому по лемме Это доказывает, что функция трансцендентна над полем .

Пусть утверждение установлено для функций Докажем, что тогда оно выполняется и для функций Применим к уравнению (75) с индексом к лемму 4, заменив в ней поле на поле

и воспользуемся предположением индукции. Аналогично, как и в случае получим, что функции алгебраически независимы над полем Лемма доказана.

Лемма 10. Пусть числа удовлетворяют условиям леммы 6, числа и линейно независимы над и любые линейно независимые решения соответствующих дифференциальных уравнений любые линейно независимые решения соответствующих дифференциальных уравнений (2).

Тогда: 1°. Функции алгебраически независимы над

2°. Функции алгебраически независимы над

3°. Функции алгебраически независимы над

Доказательство. 1°. По лемме 6 функции алгебраически независимы над Поэтому для уравнений (43) выполнены условия леммы 9, по которой функции алгебраически независимы над

2°. Пусть различные и отличные от нуля комплексные числа, Докажем, что функции линейно независимы над полем

Тоща второе утверждение леммы будет доказано.

Допустим противное. Тогда

где многочлены в совокупности взаимно просты, а к — наименьшее возможное число. Дифференцируя уравнение (76), получим

Из дифференциальных уравнений (43) и формул Лиувилля для этих уравнений

следует, что ноле замкнуто относительно операции дифференцирования. Поэтому, пользуясь минимальностью числа получаем, что коэффициенты при в левых частях уравнений (76) и (77) должны быть пропорциональны, т. е.

Отсюда, интегрируя, имеем

Это означает, что и с

Рассмотрим обе части равенства (78) как функции от Заменим в них z на где и

Тогда числа будут различны и отличны от нуля. Пусть после рассмотренной замены переходят в Исключая из двух уравнений функцию получим равенство которое противоречит доказанному в утверждении 1°, если в последнем заменить на Полученное противоречие доказывает второе утверждение леммы.

3°. Так как то пользуясь леммой 8 гл. 5, получаем, что третье утверждение леммы есть следствие ее второго утверждения.

Доказательство теоремы 9. Рассуждая как при доказательстве теоремы 8, с помощью леммы 9, третьей основной теоремы гл. 4 и уравнений вида (73) при докажем, что числа алгебраически независимы. Отсюда, как замечено выше, следует утверждение теоремы.

Теоремы 8 и 9 установлены в в работах [28 : 14, 24].

В 1971 г. И. И. Белогривов [1:4] доказал следующую теорему, обобщающую теорему Зигеля на случай совокупности значений функций с различными значениями параметров и аргументов.

Теорема 10. Пусть рациональные числа, удовлетворяющие условиям:

- алгебраические числа, квадраты которых различны и отличны от нуля, алгебраические числа линейно независимые над такие, что

Тогда чисел

алгебраически независимы.

В 1981 г. В. А. Горелов [6 : 1] доказал теоремы об алгебраической независимости значений функций и функций и их производных при различных рациональных значениях параметров и в различных алгебраических точках при естественных ограничениях.