§ 2. Решения однородных дифференциальных уравнений

Пусть Положим

Тогда

Сумма в правой части последнего равенства является гипергеометрической Е-функцией. По свойствам Е-функций и леммам 1 и 2 гл. 5 получаем, что при любом есть Е-функция, являющаяся решением линейного однородного дифференциального уравнения порядка к с коэффициентами из и единственной особой точкой

Легко проверить, что

Отсюда, дифференцируя, получаем, что совокупность Е-функций (24) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Теорема 2. Пусть принадлежат

Тогда: 1) чисел

алгебраически независимы; 2) чисел алгебраически независимы.

Для доказательства теоремы 2 докажем соответствующую функциональную лемму.

Лемма 4. При условиях теоремы 2 функции (24) алгебраически независимы над

Доказательство. Применим индукцию по Если то лемма справедлива, так как трансцендентная функция. Предположим, что лемма выполняется при и докажем, что тогда ее утверждение справедливо и для

Допустим противное. Тогда существует неприводимый многочлен

содержащий и такой, что

Пусть

дифференциальные операторы, связанные с системой дифференциальных уравнений (26). Тогда

По предположению индукции степень трансцендентности функций (24) над равна и эти функции связаны алгебраическим уравнением (28). Поэтому по лемме 4 гл. 5 многочлен делится на многочлен как многочлен от независимых переменных, и существует функция такая, что Сравнивая степени и по z и по убеждаемся в том, что Итак,

Многочлен неприводим. Значит, он содержит члены, не зависящие от Обозначим сумму всех таких членов. Тогда

При применении оператора к члены, содержащие переходят в члены такого же типа. В многочлен не входят члены, содержащие Но такие члены могут входить в Старший член по переменным в тождестве (29) может сократиться только со старшим членом многочлена имеющим такой же порядок.

Пусть

— старший член многочлена Тогда

есть старший член многочлена Сравнивая в тождестве (29) коэффициенты при старших членах многочленов и после деления обеих частей полученного тождества на получим

Из этого тождества имеем Тождество (29) примет вид

Представим многочлен следующим образом:

Применим к нему оператор Тогда

Сравнивая в тождестве (30) коэффициенты при пользуясь равенствами (31) и (32), получим

Положим теперь Тогда

Интегрируя первое из тождеств (33), находим

Так как целая функция, то Подставляя

найденное значение во второе из тождеств (33), имеем

Поскольку то интегрируя дифференциальное уравнение (34), пользуясь при этом соответствующим из равенств (25), получим

Из равенства (35) следует, что так как и целые функции, а также что

Обозначим Тогда тождество (34) примет вид

При применении оператора к многочлену каждая совокупность всех однородных членов заданной степени по переходит в совокупность таких же членов или нуль. Из тождества (36) следует, что в входит совокупность членов первой степени по Обозначим ее Тогда из тождества (36) имеем

откуда следует, что входит в

Докажем, что тождество (37) противоречиво. Возможны два случая.

А. . В этом случае Сравнивая в тождестве (37) коэффициенты при получим

Степень многочлена на единицу больше степени Следовательно, и поэтому Но Значит, и из тождества (38) следует, что делится на

Пусть где многочлен, не делящийся на , а Тогда тождество (38), после сокращения его обеих частей на примет вид

из которого следует, что должно выполняться равенство Но это равенство невозможно, так как

Б. В этом случае

Сравнивая в тождестве (37) коэффициенты при лолучим систему тождеств

Возможны два подслучая. 1) Интегрируя первое из дифференциальных уравнений системы (39), находим

Но Поэтому и

Подставляя найденное значение во второе из тождеств (39), аналогично получим

Продолжая этот процесс, приходим к равенству

а последнее из тождеств (39) принимает вид

Но тождество (40) того же типа, что и тождество (38), и поэтому противоречиво.

2) - наибольшее число, для которого

Рассмотрим первые тождеств из совокупности (39). Если то это будет одно тождество

интегрируя которое имеем

что невозможно, так как

Если же то поскольку как и в предшествующем подслучае, получим

Тогда последнее из рассматриваемой подсовокупности тождеств (39) примет вид

в противоречивости которого убеждаемся, как и в случае тождества (41).

Итак, тождество (37) всегда противоречиво и утверждение леммы выполняется для значения а по индукции и для любого значения

Поскольку совокупность Е-функций (24) составляет решение системы дифференциальных уравнений (26), то первое утверждение теоремы 2 следует из второй основной теоремы гл. 3 и леммы 4. Ее второе утверждение доказывается аналогично соответствующему утверждению теоремы 1.