§ 6. Алгебраическая независимость значений Е-функций, связанных произвольными алгебраическими уравнениями над C(z)

Теорема 5. Пусть совокупность Е-функций

составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (4) (линейных дифференциальных уравнений (11)), а функции однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над

Тогда почти для всех числа однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы).

Доказательству теоремы предпошлем две леммы.

Лемма 10. Пусть комплексные числа связаны однородными алгебраическими уравнениями (алгебраическими уравнениями)

где содержит и обладает тем свойством, что в нем хотя бы один из многочленов от являющихся коэффициентами при степенях не обращается в нуль после подстановки вместо чисел

Тогда

Доказательство. Из уравнений (48) следует, что каждое из чисел однородно алгебраически зависит (алгебраически зависит) от чисел следовательно, однородно алгебраически зависит (алгебраически зависит) от чисел Поэтому множества чисел а однородно алгебраически эквивалентны (алгебраически эквивалентны). Отсюда следует, что выполняется равенство (49).

Лемма 11. Пусть совокупность Е-функций (47), , является решением системы линейных однородных дифференциальных уравнений (4) (линейных дифференциальных уравнений Степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) над множества этих функций равна Далее, функции однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над а функции связаны однородными (произвольными) алгебраическими уравнениями

где многочлен от переменных, содержащий с коэффициентами из

Тогда если в некоторой точке числа однородно алгебраически зависимы (алгебраически зависимы), яогя бы в одном из многочленов рассматриваемом как многочлен от с коэффициентами из все глии коэффициенты обращаются в цулъ после подстановки в них

Доказательство. Допустим противное, что в некоторой точке числа однородно алгебраически зависимы (алгебраически зависимы), но в каждом из многочленов рассматриваемом как многочлен от с коэффициентами из не все такие коэффициенты обращаются в нуль после подстановки в них Ввиду уравнений

сформулированное предположение означает, что множества чисел удовлетворяют всем условиям леммы 10, по которой степени однородной трансцендентности (степени трансцендентности) этих множеств равны. Но по предположению числа однородно алгебраически зависимы (алгебраически зависимы). Следовательно, степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) множеств чисел меньше, чем

С другой стороны, совокупность Е-функций (47) удовлетворяет всем условиям третьей основной теоремы, по которой степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) чисел равна Полученное противоречие доказывает, что утверждение леммы справедливо.

Доказательство теоремы 5. Можно считать, что степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) множества функций (47) над равна I, а функции однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над

Если то теорема следует из первой и второй основных теорем.

Предположим теперь, что и функции связаны с функциями однородными (произвольными) алгебраическими уравнениями

где неприводимый и примитивный многочлен от переменных, содержащий с коэффициентами из По лемме 5 можно считать, что Уравнения (51) являются частным случаем уравнений (50), рассмотренных в лемме 11.

Пусть Если числа однородно алгебраически зависимы (алгебраически зависимы), то по лемме 11 хотя бы в одном из многочленов рассматриваемом как многочлен от с коэффициентами из все такие коэффициенты обращаются в нуль после подстановки в них по теореме 4 в любом из многочленов каждый из таких коэффициентов, а тем более и все они, могут обращаться в нуль только в конечном множестве чисел из А. Поэтому почти во всех алгебраических точках числа однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы). Теорема доказана.

Из однородного случая теоремы 5 получаем ряд следствий, аналогичных следствиям из первой и третьей основной теорем.

Пусть Е-функции (47) удовлетворяют условиям однородного случая теоремы 5. Тогда выполняются следующие утверждения.

1°. Почти для всех числа отличны от нуля.

2°. При каждом если почти для всех числа алгебраически независимы.

3°. Почти для всех А среди чисел по крайней мере чисел трансцендентны.